§ 2. Ортогональность сферических функций
Покажем, что построенные в предыдущем параграфе сферические функции ортогональны на поверхности 2 любого шара с центром в начале координат, т. е. интеграл от произведения двух различных функций (19) по поверхности 
равен нулю. Начнем со сферических функций разных порядков. Пусть 
две такие функции. Функции
гармоничны в любой ограниченной окрестности начала координат. Действительно, они регулярны в любой конечной области, а согласно формуле (5) (при 
) удовлетворяют уравнению
Лапласа. Поэтому в силу формулы Грина (7) гл. XIX:
В данном случае дифференцирование по нормали к 2 совпадает с дифференцированием по 
Поэтому
а так как 
то
Переходя к сферическим функциям (19) одного порядка, заметим, что интеграл по поверхности 2 можно представить в виде повторного интеграла, содержащего интегрирование по 
в пределах от 
до 
Но в функции (19) одного порядка угол 
входит посредством множителей
образующих в промежутке 
ортогональную систему. Поэтому интеграл в пределах от 
до 
от произведения любой пары из них равен нулю. Следовательно, равен нулю и интеграл по 
.
Укажем без вывода интегралы от квадратов сферических функций:
где 
радиус шаровой поверхности 
.
Установим, наконец, интегральные формулы, содержащие произвольную сферическую функцию и полином Лежандра.
Пусть 
, как и выше, шаровая поверхность с центром в начале координат, 
точка внутри 
. Применив к гармонической функции
формулу (44) гл. XIX, получим
где 
- расстояние между точкой х и переменной точкой 
на 
. В рассматриваемом случае:
где у — переменный угол между радиусами-векторами точек х и Разложим функцию 
в равномерно сходящийся ряд:
и заметим, что на 
:
В силу этих соотношений:
Подставив это выражение в формулу Грина, получим:
Интегрируя почленно равномерно сходящийся ряд в правой части этого соотношения, придем к ряду
коэффициенты которого
не зависят ни от 
ни от 
поскольку отношение остается инвариантным при изменении 
Сравнив коэффициенты при одинаковых степенях отношений в ряде (21) и приняв во внимание формулу (22), придем к формулам:
