§ 4. Экстремальные свойства собственных функций

Примем, что не собственное число задачи Это не ограничивает общности, поскольку, добавив к произвольное вещественное число все собственные числа можно изменить

на Пусть тогда

— решение неоднородной граничной задачи

Обозначим символом правило или, что то же самое, оператор, которым функции в (18) сопоставляется функция Иными словами, положим Тогда, ввиду (19) и (18),

и

Это оправдывает введение обозначения ибо, в смысле операторы взаимно обратны (символически: Подчеркнем, что функция удовлетворяет граничным условиям

Применив операцию к (13), получим или

Если считать функцию заданной, то есть интегральное уравнение (однородное уравнение Фредгольма второго рода) относительно неизвестной функции функцию называют его ядром. Это уравнение эквивалентно задаче Штурма — Лиувилля Его нетривиальные решения существуют при значениях равных собственным числам задачи и суть собственные функции этой задачи. Уравнение включает и граничные условия (14) — они учтены в свойствах функции Грина. Никаких дополнительных условий типа граничных задавать не нужно. Функция Грина ядро интегрального уравнения -служит связующим звеном между уравнением и задачей

Введем обозначение

где звездочка означает переход к комплексно-сопряженной величине, и -функции с квадратом модуля, интегрируемым на или, как будем говорить, — функции класса Если функция принадлежит классу то, используя знак принадлежности будем писать: Выражение вида (23) называют скалярным произведением

функций на интервале Скалярное произведение существует для любых

Укажем для справок свойства скалярного произведения вещественное неотрицательное число.

Если то из следует, что на (если -кусочно непрерывна, то из следует, что почти всюду на

Если числа, то

Если функции их и имеют непрерывные вторые производные и обе удовлетворяют граничным условиям (14), то

т. е., как говорят, оператор самосопряженный. Это легко установить, записав (24) в явном виде и интегрируя по частям. Положив ввиду (22), получим двойственную к (24) формулу

т. е. оператор также самосопряженный. Важное свойство самосопряженных операторов: для них скалярные произведения вида вещественны. Действительно, ввиду (23), так что, если оператор А самосопряженный, то Записав (25) в явном виде, легко установить, что

Если говорят, что на функция нормирована (на единицу). Для дальнейшего удобно считать, что функция в (18) нормирована. Обозначив символом множество непрерывных нормированных на функций, запишем это условие в виде:

Условие нормировки и свойства оператора L накладывают определенные ограничения на рост функций Пусть граничные условия (14) и оператор фиксированы. Тогда: а) существует число такое, что для любой функции

т. е. функции и равномерно ограничены,

б) для любого существует такое что для любой функции и любой точки из

т. е., как говорят, функции и равностепенно непрерывны.

Для равномерно ограниченных и равностепенно непрерывных функций справедлива лемма: если любое бесконечное множество таких функций, то из него всегда можно выделить последовательность функций и, равномерно сходящуюся на

в) точные верхние грани значений, которые принимают выражения при выборе из ограничены и совпадают:

где означает «точная верхняя грань», а общее значение верхних граней.

Из следует, что Действительно, если по определению точной верхней грани (и, что возможно только тогда, когда непрерывная функция Но это невозможно, так как

Задача Штурма — Лиувилля связана с экстремальной задачей следующего типа: найти нормированную непрерывную функцию такую, что при выражение

достигает своей точной верхней грани.

Связь задачи с этой экстремальной задачей можно предполагать, например, на основании следующего нестрогого рассуждения. Выражение ограничено сверху, так как функции нормированы. Его точная верхняя грань достигается для функции для которой скалярное произведение имеет экстремум в силу условия Если варьировать (т. е. функцию заменять близкими ей функциями то вариация (главная часть приращения) интеграла

Здесь учтено, что, ввиду (25), В экстремуме, т. е. при эта вариация должна обращаться в нуль в силу условия или, что то же, условия

Сравнивая видим, что это имеет место, если

где отличное от нуля вещественное число.

Из следует, что удовлетворяет граничным условиям (14) (свойство оператора Применив к оператор ввиду (22), получим: где удовлетворяет также и уравнению (13) и, значит, должна быть собственной функцией, собственным числом задачи

Подставив в (27), получим т. е. точная верхняя грань выражения (27) совпадает с величиной, обратной абсолютному значению собственного числа X задачи Из справедливости изложенных соображений и существования верхней грани у выражения (27) должно следовать существование нетривиального решения задачи

Изложенные соображения действительно оправдываются.

Оказывается, что точная верхняя грань выражения число (или -собственное число задачи и если нормированная собственная функция этой задачи, принадлежащая то при выражение (27) достигает своей точной верхней грани Пусть далее

и

Функции ортогональны. Действительно, ввиду и (29),

Кроме того,

Если в (27) заменить на то снова оказывается, что точная верхняя грань полученного выражения число (или ) - собственное число задачи (13) -(14), а принадлежащая ему нормированная собственная функция придает этому выражению экстремальное значение. Ввиду (31), замена на эквивалентна экстремальной задаче для (27) при дополнительном условии Поскольку дополнительное условие может только уменьшить верхнюю грань, то

Этот процесс можно продолжать шаг за шагом, причем он не может прерваться. Действительно, для этого, скажем на

шаге, должно было бы быть где, аналогично (28) -(29),

Применение к правой части оператора ввиду дало бы

т. е. любая непрерывная функция могла бы быть представлена как линейная комбинация конечного числа дважды дифференцируемых функций что невозможно.

Из этого следует существование бесконечной счетной последовательности собственных функций задачи принадлежащих соответственно собственным числам удовлетворяющим неравенствам