§ 2. Двумерные волны в бассейне ограниченной глубины
Волны, не зависящие от одной из координат, называют двумерными. Направим ось х перпендикулярно гребням волн. Тогда картина волнения не будет зависеть от координаты у и уравнение (11) примет вид
Рассмотрим картину двумерного волнения в бассейне постоянной глубины 
Размер бассейна вдоль оси х будем считать неограниченным, а вдоль оси у либо имеющим определенное постоянное значение (канал с вертикальными стенками), либо
неограниченным. В соответствии с этим из граничных условий (12) — (13) сохраним условие на свободной поверхности:
и условие на дне бассейна:
Условие на стенках канала будет выполнено автоматически, так как функция и не зависит от у.
Решение уравнения (15) будем искать по методу разделения переменных. Полагая 
придем к двум уравнениям:
где 
произвольное число. Их общие интегралы:
где 
произвольные постоянные.
Числа 
а также 
необходимо выбрать так, чтобы удовлетворялись как граничные условия, так и требование малости волнения (§ 1).
Начнем с рассмотрения выражения (18), определяющего зависимость волнения от координаты х. Если число 
комплексно или отрицательно, то из выражения (18) следует, что в одном из направлений оси х волнение не только не может быть малым, но неограниченно возрастает. Поэтому число 
следует выбрать вещественным и положительным. Через 
обозначим положительный корень из 
Заметим попутно, что при вещественном 
из (18) непосредственно вытекает соотношение
где X — длина волны. Число 
называют волновым числом.
Подставив произведение 
в граничное условие (17), получим
откуда следует, что с точностью до множителя
так что
Используя граничное условие (16), получим
или
т. е. волновое число 
и круговая частота колебаний функционально связаны. Заметив, что правая часть уравнения (22) монотонно и неограниченно возрастает с ростом 
заключим, что каждому значению со соответствует одно и только одно значение 
удовлетворяющее этому уравнению, причем с ростом со возрастает и 
Вернемся теперь снова к выражению (18) для функции 
Поскольку все условия задачи удовлетворены выбором постоянных и 
и ограничениями, наложенными на значения 
то постоянные 
ограничиваются только требованием малости амплитуд волнения, в остальном же они произвольны. Это является естественным, так как мы не задавали никаких количественных характеристик начального возмущения, вызвавшего волнение. Поэтому искомое решение неоднозначно и определит лишь класс возможных движений жидкости, удовлетворяющих поставленным условиям. Умножая (18) на 
получим
откуда ясно, что первый член в правой части (18) соответствует волне, бегущей с фазовой скоростью
в направлении оси х, а второй член соответствует волне, бегущей с той же фазовой скоростью в противоположном направлении. Подставляя 
из (22), найдем, что
т. е. фазовая скорость волн зависит от их длины. Это означает, что если наложением волн разной длины образована сложная волна, то в общем случае с течением времени ее форма будет изменяться, так как отдельные слагающие ее волны будут распространяться с разной скоростью (дисперсия волн). Наоборот, как следует из (23), волны, образованные наложением волн одной длины, сохраняют свою форму с течением времени. Заметим, что эти последние волны всегда неограниченны в пространстве (периодичны).
Если
т. е. если длина волны намного больше глубины бассейна-, то 
в силу (25), получим
Это означает, что очень длинные волны распространяются без дисперсии.
Чтобы извлечь из нашего решения дальнейшие следствия, выпишем выражение для потенциала скорости 
применительно к волне, бегущей в положительном направлении оси х. В силу (10), имеем
Суперпозиция решений (27) с разными значениями со и соответствующими им значениями очевидно, также удовлетворяет условиям задачи. Поэтому, считая 
и со функциями 
и интегрируя решение (27) по 
придем к более общему решению
Функция 
здесь ограничивается только требованием, чтобы интеграл в правой части имел смысл. (С точки зрения физики рассматриваемые значения числа 
должны быть ограничены сверху, так как при очень высоких частотах вязкостью и другими не учитываемыми уравнениями Эйлера характеристиками нельзя пренебрегать, и наше решение теряет физический смысл. Иначе говоря, следует считать, что, начиная с некоторых, достаточно больших значений 
функция 
становится равной нулю.)
Решение (28) представляет суперпозицию волн с бесконечно малыми амплитудами 
Если некоторой частоте или набору частот соответствуют волны с конечной (хотя, согласно принятому условию, малой) амплитудой, то к (28) следует добавить конечную сумму по соответствующим значениям 
что и даст наиболее общую форму решения рассматриваемой нами задачи. Интересующие нас выводы мы, однако, сумеем извлечь уже из решения (28).
Дифференцируя выражение под знаком интеграла (28) по 
и полагая 
в силу (7), придем к следующему выражению для координаты 
свободной поверхности:
Вводя новую функцию от 
перепишем это соотношение в виде
Предположим, что в некоторый момент времени, который мы примем за начало отсчета, форма поверхности жидкости описывалась функцией
Найдем, как изменяется форма поверхности в дальнейшем. В силу (30):
Функцию 
как мы сейчас покажем, можно выбрать так, чтобы интеграл в правой части этого соотношения был вещественным, т. е. чтобы было
Чтобы определить 
указанным образом, воспользуемся интегральной формулой Фурье
справедливой, если в интервале, содержащем внутри точку х, функция 
имеет ограниченное изменение и непрерывна, а в интервале 
абсолютно интегрируема. Будем считать эти условия для функции 
выполненными 
и всех х и положим в (32): 
Тогда из сравнения соотношений (31) и (32) вытекает, что соотношение (31) будет выполнено, если положить
где
Подставляя это значение 
в (30), получим
Эта формула позволяет определить изменение формы поверхности жидкости с течением времени.
Рассмотрим частный случай, когда первоначальное возмущение образовано весьма длинными волнами 
Тогда, согласно (26),
и соотношение (35) примет вид
Замечая, что выражение 
не зависит от 
и играет здесь ту же роль, что и х в соотношении (32), получим
т. е. первоначальное возмущение распространяется без искажения, как уже и упоминалось.
К другому важному частному случаю придем, предположив, что
где 
вещественная функция, которую мы будем считать обладающей следующими свойствами:
а) она мало меняется на протяжении длины волны
б) она отлична от нуля лишь в конечном интервале изменения х. Такого рода возмущение называют группой или цугом волн длины
Как следует из теории интеграла Фурье, в силу свойства а), функция 
определяемая формулой (34), близка к нулю при всех 
за исключением значений 
близких к значению 
Благодаря последнему обстоятельству в разложении
можно сохранить лишь два первых члена, не внося существенной погрешности в вычисление интеграла (35). Обозначив
получим
в силу чего интеграл (35) приближенно может быть записан в виде
где
Принимая во внимание интегральную формулу Фурье (32), легко найдем, что
откуда вытекает, что
Таким образом, в первом приближении рассматриваемая группа волн как целое распространяется со скоростью
Эту скорость называют групповой скоростью. Отдельные же волны группы (гребни и впадины) бегут со скоростью-, представляющей фазовую скорость волн соответствующей длины волны. Эти волны не отстают от группы и не опережают ее, так как их высота у границ группы, характеризуемая множителем 
обращается в нуль. Так дело обстоит, конечно, только в том приближении, в котором мы рассматриваем здесь группу. Учет членов высшего порядка показал бы, что с течением времени группа, вообще говоря, меняет форму и неограниченно увеличивается по размерам из-за дисперсии волн.
Подчеркнем, что понятие групповой скорости в общем случае произвольного возмущения ввести нельзя. Оно применимо только в отношении групп волн, спектр которых, характеризуемый функцией 
простирается лишь на достаточно узкий интервал значений волнового числа 
ЗАДАЧИ
(см. скан)
