§ 3. Некоторые свойства полиномов Лежандра

1) Полином Лежандра степени есть функция той же четности, что и

Это утверждение непосредственно следует из формулы (5), если заметить, что функция четная, а каждое дифференцирование меняет ее четность.

Первое из этих равенств сразу следует из (9). При доказательстве второго заметим, что значение многочлена при есть его свободный член. Так как при -кратном дифференцировании степень каждого члена понижается на единиц, то свободный член получается при дифференцировании члена, содержащего многочлена Этот член, очевидно, равен

Дифференцируя его раз и умножая на мы и получим вторую из формул (10).

Для доказательства перепишем формулу (5) следующим образом: применяя формулу Лейбница, получим

Имеем, очевидно,

откуда непосредственно следует равенство

Второе из равенств (11) получается из первого при помощи (9). 4) Все корни полинома Лежандра вещественны, различны и лежат в интервале

Это утверждение легко следует из формулы (5) и теоремы Ролля.

Действительно, многочлен степени имеет корни кратности и по теореме Ролля имеет еще один корень внутри отрезка Этим и исчерпываются все его корни. Затем полином степени имеет корни кратности и, кроме того, по теореме Ролля имеет два вещественных корня: один внутри и другой внутри . Продолжая так и дальше, мы увидим, что имеет различных корней внутри