§ 9. Теорема единственности
Рассмотрим имеющий большое принципиальное значение вопрос о единственности решений системы уравнений Максвелла.
Пусть
замкнутая поверхность, разделяющая две среды
заполняющие соответственно конечную область
положенную внутри 5, и бесконечную область
расположенную вне
На границе
будем считать выполненными условия сопряжения тангенциальных компонент векторов поля:
Далее будем считать, что выполняется условие излучения, при
где
— квадратный корень с положительной вещественной частью из выражения
Входящие в последнее выражение величины отмечены индексами
поскольку бесконечно удаленная точка принадлежит среде
В дальнейшем индексы при обозначениях величин будем вводить только тогда, когда необходимо подчеркнуть, что данная величина относится к определенной среде.
Наконец, будем считать, что электропроводность среды
При указанных достаточно общих условиях имеет место Теорема единственности. Решение системы уравнений Максвелла (40) — (41), удовлетворяющее граничным условиям (86) и условиям излучения (87), при условии (88) единственно.
Для доказательства теоремы предположим, что существует два решения, т. е. две системы векторов поля
удовлетворяющих требованиям теоремы. В этом случае разности
очевидно, будут удовлетворять однородной системе уравнений Максвелла:
граничным условиям (86) и условию излучения (87) на бесконечности. Теорема будет доказана, если показать, что векторы
удовлетворяющие перечисленным условиям, тождественно равны нулю во всем пространстве.
Рассмотрим выражение
и выражение, комплексно сопряженное ему,
Звездочкой будем отмечать величины, комплексно сопряженные величинам, обозначаемым тем же символом без звездочки. Сумма
Раскроем выражение для квадратов модулей векторов поля. По определению
В силу соотношения (90):
откуда
где значок о означает, что суммируемые члены получаются один из другого круговой перестановкой индексов
Аналогичным путем, используя уравнения (90), найдем, что
Подставив найденные выражения в выражение (92), получим:
откуда очевидно, что
Пусть
- шаровая поверхность настолько большого радиуса
что область V лежит внутри нее. Легко видеть, что в силу
граничных условий (86), нормальная составляющая вектора
с компонентами
изменяется непрерывно при пересечении поверхности раздела
Действительно, пусть для простоты ось
перпендикулярна
Нормальная составляющая
вектора
равна в этом случае Т, а определяющие ее величины
являются компонентами тангенциальных составляющих векторов поля и, следовательно, непрерывны. А поэтому непрерывна и интересующая нас нормальная составляющая.
В силу доказанной непрерывности нормальной составляющей вектора
при пересечении
во всей области
лежащей внутри 2, к функции
можно применить формулу Остроградского—Гаусса, что, в силу соотношения (93), даст
Введем сферические координаты
с началом в центре, из которого описана шаровая поверхность
. На
:
Пользуясь уравнениями Максвелла в сферических координатах (задача 4 к § 6), получим:
оценим порядок членов в правых частях этих уравнений при
В силу условия излучения (87), при
поэтому члены, содержащие множитель
стремятся к нулю
быстрее
Отсюда следует, что
где
означает совокупность членов более высокого порядка малости, чем у. Подставив эти выражения в формулу (96), получим
где
означает совокупность членов порядка более высокого, чем
Из соотношения (95) теперь вытекает, что
Так как все члены этого уравнения неотрицательны, то нулю равен каждый из них, а поскольку и подынтегральные выражения неотрицательны, то должно быть
В силу соотношений (97) отсюда также следует, что
Наконец, пользуясь уравнениями Максвелла в сферических координатах, найдем, что