§ 9. Теорема единственности

Рассмотрим имеющий большое принципиальное значение вопрос о единственности решений системы уравнений Максвелла.

Пусть замкнутая поверхность, разделяющая две среды заполняющие соответственно конечную область

положенную внутри 5, и бесконечную область расположенную вне На границе будем считать выполненными условия сопряжения тангенциальных компонент векторов поля:

Далее будем считать, что выполняется условие излучения, при

где — квадратный корень с положительной вещественной частью из выражения

Входящие в последнее выражение величины отмечены индексами поскольку бесконечно удаленная точка принадлежит среде В дальнейшем индексы при обозначениях величин будем вводить только тогда, когда необходимо подчеркнуть, что данная величина относится к определенной среде.

Наконец, будем считать, что электропроводность среды

При указанных достаточно общих условиях имеет место Теорема единственности. Решение системы уравнений Максвелла (40) — (41), удовлетворяющее граничным условиям (86) и условиям излучения (87), при условии (88) единственно.

Для доказательства теоремы предположим, что существует два решения, т. е. две системы векторов поля удовлетворяющих требованиям теоремы. В этом случае разности

очевидно, будут удовлетворять однородной системе уравнений Максвелла:

граничным условиям (86) и условию излучения (87) на бесконечности. Теорема будет доказана, если показать, что векторы удовлетворяющие перечисленным условиям, тождественно равны нулю во всем пространстве.

Рассмотрим выражение

и выражение, комплексно сопряженное ему,

Звездочкой будем отмечать величины, комплексно сопряженные величинам, обозначаемым тем же символом без звездочки. Сумма

Раскроем выражение для квадратов модулей векторов поля. По определению

В силу соотношения (90):

откуда

где значок о означает, что суммируемые члены получаются один из другого круговой перестановкой индексов Аналогичным путем, используя уравнения (90), найдем, что

Подставив найденные выражения в выражение (92), получим:

откуда очевидно, что

Пусть - шаровая поверхность настолько большого радиуса что область V лежит внутри нее. Легко видеть, что в силу

граничных условий (86), нормальная составляющая вектора с компонентами

изменяется непрерывно при пересечении поверхности раздела Действительно, пусть для простоты ось перпендикулярна Нормальная составляющая вектора равна в этом случае Т, а определяющие ее величины являются компонентами тангенциальных составляющих векторов поля и, следовательно, непрерывны. А поэтому непрерывна и интересующая нас нормальная составляющая.

В силу доказанной непрерывности нормальной составляющей вектора при пересечении во всей области лежащей внутри 2, к функции

можно применить формулу Остроградского—Гаусса, что, в силу соотношения (93), даст

Введем сферические координаты с началом в центре, из которого описана шаровая поверхность . На :

Пользуясь уравнениями Максвелла в сферических координатах (задача 4 к § 6), получим:

оценим порядок членов в правых частях этих уравнений при В силу условия излучения (87), при

поэтому члены, содержащие множитель стремятся к нулю

быстрее Отсюда следует, что

где означает совокупность членов более высокого порядка малости, чем у. Подставив эти выражения в формулу (96), получим

где означает совокупность членов порядка более высокого, чем Из соотношения (95) теперь вытекает, что

Так как все члены этого уравнения неотрицательны, то нулю равен каждый из них, а поскольку и подынтегральные выражения неотрицательны, то должно быть

В силу соотношений (97) отсюда также следует, что

Наконец, пользуясь уравнениями Максвелла в сферических координатах, найдем, что

откуда ясно, что радиальные компоненты по порядку величины не превосходят угловых компонент, так что должно быть

а поэтому вообще

Если то из (98) вытекает, что во всем пространстве а в силу уравнений (89) также и Если же то во внешней области параметр имеет вещественное значение. Поэтому, приняв во внимание, что каждая из компонент векторов поля удовлетворяет уравнению Гельмгольца, мы можем воспользоваться основной леммой теории уравнения Гельмгольца (§ 7 гл. XXIV), согласно которой выполнение условия (99) при вещественном влечет за собой обращение в нуль во всей внешней области. Во внутренней же области равны нулю в силу первого из соотношений (98). Таким образом, теорема доказана.