§ 4. Разложение потенциала по мультиполям. Сферические функции

Введем сферические координаты с началом в точке и рассмотрим разложение (8). Как указывалось (см. замечание к формуле (7)), произведения не зависят от значения Поэтому потенциалы

могут быть представлены как произведение двух сомножителей, из которых первый зависит только от а второй

не зависит от и поэтому может зависеть только от угловых координат Иначе говоря, распределение значений потенциалов на всех шаровых поверхностях подобно. Следовательно, любой потенциал порядка может быть однозначно охарактеризован множителем зависящим только от координат Этот множитель получил название сферической функции порядка.

Так как потенциалы мультиполя гармоничны, то сферические функции непрерывны и дифференцируемы по и неограниченное число раз.

Выведем некоторые соотношения, связывающие потенциалы мультиполей и сферические функции.

Обозначив через направляющие косинусы отрезка (см. рис. 30), и заметив, что

получим

Подставив это выражение в соотношение (19), и приняв во внимание, что производные

не зависят от координат точек области V, по которым производится интегрирование, после несложных преобразований получим

где

Постоянные называют моментами порядка.

Сравнив члены суммы (22) с выражениями (17), заключим, что соотношение (22) представляет сумму потенциалов мультиполей порядка расположенных в точке и имеющих мультипольные моменты Легко показать, что эта сумма эквивалентна одному мультиполю, расположенному в той же точке, т. е. можно построить мультиполь порядка, так выбрав его момент и направления осей, чтобы его потенциал совпадал с Действительно, представим выражение

в форме произведения

где постоянная Коэффициенты можно считать удовлетворяющими условию

В самом деле, если для некоторого а это не так, то, разделив соответствующий трехчлен на и изменив соответственно значение придем к числам удовлетворяющим поставленному условию. Поэтому коэффициенты можно принять за направляющие косинусы некоторого направления в силу чего

Это и доказывает сделанное утверждение.

Таким образом, выражение (19) является потенциалом некоторого мультиполя, расположенного в точке Следовательно, ряд (8) представляет разложение ньютоновского потенциала в ряд по потенциалам мультиполей различного порядка, расположенных в точке

Умножив обе части выражения (22) на и приняв во внимание формулы (19) и (20), найдем, что

где

— сферические функции специального вида. Так как моменты не зависят от координат из формулы (24) заключим, что любая сферическая функция порядка может быть выражена линейной комбинацией сферических функций специального вида (25), число которых, как можно подсчитать, равно Однако не все функции являются линейно независимыми, т. е. часть из них

также можно представить как линейную комбинацию других функций того же порядка.

Это можно предвидеть из того, что функция представляет потенциал некоторого мультиполя порядка Как было показано в § 3, мультиполь порядка полностью определяется заданием всего лишь параметров. Поэтому можно ожидать, что существует не более линейно независимых сферических функций порядка

Чтобы доказать это, заметим, что функция удовлетворяет уравнению Лапласа:

поэтому одни частные производные от можно выразить через другие. Например, можно исключить все производные по порядка выше первого с помощью тождества

выразив, тем самым, все функции вида (25) с через функции с 1. Число значений, которые может принимать показатель при данном значении у, равно причем каждой данной совокупности значений соответствует определенное значение а, так как Если 71, то число значений, которые может принимать показатель равно т.е. действительно, среди функций (25) не более линейно независимых.

В гл. XXI будет указан метод систематического построения взаимно-ортогональных (из чего будет вытекать их линейная независимость) сферических функций с данным и доказана полнота всей системы сферических функций, построенных этим методом.

Заметим, что может возникнуть вопрос, однозначно ли определяет разложение по мультиполям (или, более обще, поле вне области V, занятой массами или зарядами) плотность распределения масс (зарядов) в области В общем случае ответ на это может быть дан отрицательный. Это видно, например, из того, что разложение в ряд Тейлора функции трех переменных содержит, как известно, линеино независимых членов порядка , тогда как в разложении потенциала поля, как мы видели, содержится не более линейно независимых членов порядка. Таким образом, одно и то же поле может быть создано разными распределениями масс или зарядов. Однозначно

определяются только интегралы (20), в частности, полная масса или заряд в области

ЗАДАЧИ

(см. скан)