§ 4. Функции Леви

В этом параграфе мы рассмотрим функции, играющие большую роль в теории эллиптических дифференциальных уравнений общего вида.

Предположим, что дифференциальное выражение (2) принадлежит эллиптическому типу, т. е. существует такое число что при условии

удовлетворяется неравенство

В силу этого неравенства определитель

составленный из коэффициентов не обращается в нуль. Обозначим через алгебраическое дополнение элемента разделенное на значение определителя А. По известному свойству определителя

Кроме того, легко видеть, что из неравенства (18) вытекает неравенство

Чтобы убедиться в этом, достаточно квадратичную форму в неравенстве (18) с помощью ортогонального преобразования привести к виду

при этом форма, фигурирующая в неравенстве (20), примет вид

Поскольку, в силу неравенства (18), то высказанное утверждение очевидно.

Обозначим через х и I две точки с координатами соответственно и рассмотрим функцию

При

что предоставляется проверить читателю. Если коэффициенты при при то

где расстояние между точками х и В общем же случае во всякой ограниченной замкнутой области, содержащейся в области V, имеют место соотношения:

где положительные числа. Доказательство этих соотношений проводится аналогично. Докажем, например, второе из них. Имеем

где

— направляющие косинусы прямой, проходящей через точки Так как форма положительно определенная, то существует такое число что

в силу чего

Правая часть этого неравенства ограничена. Ее наибольшее значение в рассматриваемой области примем за Поделив обе части неравенства на придем ко второму из неравенств (24).

Если функция, при непрерывная в рассматриваемой области V вместе со своими первыми и вторыми производными по координатам точки и равномерно в каждой замкнутой области, содержащейся в V, удовлетворяющая неравенствам:

где положительные числа, не зависящие от выбора точки х, то выражение

называют функцией Леей. Функция является главной частью функций Леви.