Уравнения в частных производных математической физики

Кошляков Н. С. и др. Уравнения в частных производных математической физики. Учеб. пособие для мех.-мат. фак. ун-тов. М., «Высшая школа», 1970. - 712 с.

Книга «Уравнения в частных производных математической физики» предназначена в качестве учебного пособия для студентов и аспирантов университетов и технических вузов. Она является результатом переработки и дополнения двух известных книг: «Дифференциальные уравнения математической физики» (авт. Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов) и «Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка» (авт. М. М. Смирнов).

Предназначено для студентов университетов и втузов.

ВВЕДЕНИЕ
Глава I. ВЫВОД ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
§ 1. Уравнение колебаний струны
§ 2. Уравнение колебаний мембраны
§ 3. Уравнения гидродинамики и звуковых волн
§ 4. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле
§ 5. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа
Глава II. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1. Типы уравнений второго порядна
§ 2. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
§ 3. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными
Глава III. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§ 1. Квазилинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными
§ 2. Нелинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными
§ 3. Нелинейные дифференциальные уравнения с n независимыми переменными
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
§ 1. Уравнение колебаний струны. Решение Даламбера
§ 2. Понятие об обобщенных решениях
Глава V. ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ
§ 1. Дифференциальное уравнение продольных колебаний однородного стержня постоянного сечения. Начальные и граничные условия
§ 2. Колебания стержня с одним закрепленным концом
§ 3. Продольный удар груза по стержню
Глава VI. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
§ 2. Задача Гурса
§ 3. Метод Римана
§ 4. Примеры на приложение метода Римана
Глава VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ХАРАКТЕРИСТИК К ИЗУЧЕНИЮ КОЛЕБАНИЙ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЛИНИЯХ
§ 1. Дифференциальные уравнения свободных электрических колебаний
§ 2. Телеграфное уравнение
§ 3. Интегрирование телеграфного уравнения по методу Римана
§ 4. Электрические колебания в бесконечном проводе
§ 5. Колебания в линии, свободной от искажения
§ 6. Граничные условия для провода конечной длины
Глава VIII. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
§ 2. Цилиндрические волны
§ 3. Непрерывная зависимость решения от начальных данных
§ 4. Теорема единственности
§ 5. Неоднородное волновое уравнение
§ 6. Точечный источник
Глава IX. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
§ 2. Бихарактеристики
§ 3. Слабый разрыв. Фронт волны
§ 4. Распространение разрывов по лучам
Глава X. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ФУРЬЕ К ИЗУЧЕНИЮ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУН И СТЕРЖНЕЙ
§ 1. Метод Фурье для уравнения свободных колебаний струны
§ 2. Колебания защепленной струны
§ 3. Колебания струны под действием удара
§ 4. Продольные колебания стержня
§ 5. Общая схема метода Фурье
Глава XI. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН И СТЕРЖНЕЙ
§ 1. Вынужденные колебания струны, закрепленной на концах
§ 2. Вынужденные колебания тяжелого стержня
§ 3. Вынужденные колебания струны с подвижными концами
§ 4. Единственность решения смешанной задачи
Глава XII. КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОДНОРОДНОГО СТЕРЖНЯ
§ 1. Дифференциальное уравнение крутильных колебаний цилиндрического стержня
§ 2. Колебания стержня с одним прикрепленным диском
Глава XIII. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
§ 1. Уравнение Бесселя
§ 2. Некоторые частные случаи функций Бесселя
§ 3. Ортогональность функций Бесселя и их корни
§ 4. Разложение произвольной функции в ряд по функциям Бесселя
§ 5. Некоторые интегральные представления функций Бесселя
§ 6. Функции Ханкеля
§ 7. Функции Бесселя мнимого аргумента
Глава XIV. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ НИТИ, ПОДВЕШЕННОЙ ЗА ОДИН КОНЕЦ
§ 1. Свободные колебания подвешенной нити
§ 2. Вынужденные колебания подвешенной нити
Глава XV. МАЛЫЕ РАДИАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГАЗА
§ 1. Радиальные колебания газа в сфере
§ 2. Радиальные колебания газа в неограниченной цилиндрической трубке
Глава XVI. ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА
§ 1. Дифференциальное уравнение Лежандра
§ 2. Ортогональность полиномов Лежандра и их норма
§ 3. Некоторые свойства полиномов Лежандра
§ 4. Интегральные представления полиномов Лежандра
§ 5. Производящая функция
§ 6. Рекуррентные соотношения между полиномами Лежандра и их производными
§ 7. Функция Лежандра второго рода
§ 8. Малые колебания вращающейся струны
Глава XVII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ФУРЬЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ И КРУГЛОЙ МЕМБРАНЫ
§ 1. Свободные колебания прямоугольной мембраны
§ 2. Свободные колебания круглой мембраны
§ 3. Метод Фурье в многомерном случае
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Глава XVIII. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ В ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
§ 2. Формулы Остроградского — Гаусса и Грина
§ 3. Преобразование формулы Грина
§ 4. Функции Леви
§ 5. Формула Грина — Стокса
§ 6. Формула Грина — Стокса в случае двух измерений
§ 7. Представление некоторых дифференциальных выражений в ортогональных системах координат
Глава XIX. УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА
§ 1. Уравнения Лапласа и Пуассона. Примеры задач, приводящих к уравнению Лапласа
§ 2. Граничные задачи
§ 3. Гармонические функции
§ 4. Единственность решений граничных задач
§ 5. Фундаментальные решения уравнения Лапласа. Основная формула теории гармонических функций
§ 6. Формула Пуассона. Решение задачи Дирихле для шара
§ 7. Функция Грина
§ 8. Гармонические функции на плоскости
Глава XX. ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА
§ 1. Ньютоновский потенциал
§ 2. Потенциалы разных порядков
§ 3. Мультиполи
§ 4. Разложение потенциала по мультиполям. Сферические функции
§ 5. Потенциалы простого и двойного слоя
§ 6. Поверхности Ляпунова
§ 7. Сходимость инепрерывная зависимость несобственных интегралов от параметров
§ 8. Поведение потенциала простого слоя и его нормальных производных при пересечении слоя
§ 9. Тангенциальные производные потенциала простого слоя и производные по любому направлению
§ 10. Поведение потенциала двойного слоя при пересечении слоя
§ 11. Уровенные распределения
§ 12. Энергия гравитационного поля. Задача Гаусса
§ 13. Поле тяжести. Теорема Стокса
§ 14. Логарифмический потенциал
Глава XXI. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Построение системы линейно-независимых сферических функций
§ 2. Ортогональность сферических функций
§ 3. Разложение по сферическим функциям
§ 4. Применение сферических функций для решения граничных задач
§ 5. Функция Грина задачи Дирихле для шара
§ 6. Функция Грина задачи Неймана для шара
Глава XXII. ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
§ 1. Электростатический потенциал проводящего шара, разделенного слоем диэлектрика на два полушария
§ 2. Задача о стационарном распределении температуры в шаре
§ 3. Задача о распределении электричества на индуктивно заряженном шаре
§ 4. Обтекание шара потоком несжимаемой жидкости
Глава XXIII. ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ
§ 2. Двумерные волны в бассейне ограниченной глубины
§ 3. Кольцевые волны
§ 4. Метод станционарной фазы
Глава XXIV. УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
§ 1. Связь уравнения Гельмгольца с некоторыми уравнениями гиперболического и параболического типов
§ 2. Сферически симметричные решения уравнения Гельмгольца в ограниченной области
§ 3. Собственные числа и собственные функции граничной задачи общего вида. Разложения по собственным функциям
§ 4. Разделение переменных в уравнении Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах
§ 5. Сферически симметричные решения уравнения Гельмгольца в бесконечной области
§ 6. Интегральные формулы
§ 7. Разложения в ряды по частным решениям уравнения Гельмгольца в бесконечной области
§ 8. Вопросы единственности решений внешних граничных задач для уравнения Гельмгольца
Глава XXV. ИЗЛУЧЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ ЗВУКА
§ 1. Основные зависимости для звуковых полей
§ 2. Звуковое поле вибрирующего цилиндра
§ 3. Звуковое поле пульсирующего шара. Точечный источник
§ 4. Излучение из отверстия в плоском экране
§ 5. Звуковое поле при произвольном колебании поверхности шара
§ 6. Исследование поля шара при произвольном колебании его поверхности. Акустические или колебательные мультиполи
§ 7. Рассеяние звука
ДОПОЛНЕНИЕ К ЧАСТИ ВТОРОЙ. СВЕДЕНИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ОБЩЕГО ВИДА
§ 1. Общий вид уравнения эллиптического типа
§ 2. Основные граничные задачи
§ 3. Сопряженные граничные задачи
§ 4. Фундаментальные решения. Функция Грина
§ 5. Теоремы единственности
§ 6. Условия разрешимости граничных задач
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
§ 1. Первая граничная задача. Теорема о максимуме и минимуме
§ 2. Задача Коши
Глава XXVII. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В БЕСКОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ
§ 1. Распространение тепла в неограниченном стержне
§ 2. Распространение тепла в полуограниченном стержне
Глава XXVIII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ФУРЬЕ К РЕШЕНИЮ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
§ 1. Распространение тепла в ограниченном стержне
§ 2. Неоднородное уравнение теплопроводности
§ 3. Распространение тепла в бесконечном цилиндре
§ 4. Распространение тепла в цилиндре конечных размеров
§ 5. Распространение тепла в однородном шаре
§ 6. Распространение тепла в прямоугольной пластинке
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Глава XXIX. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
§ 2. Уравнения Лоренца — Максвелла
§ 3. Уравнения Максвелла
§ 4. Уравнения магнитной гидродинамики
§ 5. Потенциалы электромагнитного поля
§ 6. Периодические по времени электромагнитные поля
§ 7. Условия на бесконечности и граничные условия
§ 8. Представление электромагнитного поля с помощью двух скалярных функций
§ 9. Теорема единственности
Глава XXX. НАПРАВЛЯЕМЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
§ 1. Поперечно-электрические, поперечно-магнитные и поперечно-электромагнитные волны
§ 2. Волны между идеально проводящими плоскостями, разделенными диэлектриком
§ 3. Дальнейшее рассмотрение направляемых волн
§ 4. ТМ-волны в волноводе круглого сечения
§ 5. ТЕ-волны в волноводе круглого сечения
§ 6. Волны в коаксиальном кабеле
§ 7. Волны в диэлектрическом стержне
Глава XXXI. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ РУПОРЫ И РЕЗОНАТОРЫ
§ 1. Секториалькый рупор и секториальный резонатор
§ 2. Сферический резонатор
Глава XXXII. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ЗАДАЧИ ШТУРМА—ЛИУВИЛЛЯ
§ 2. Задача Штурма — Лиувилля
§ 3. Функция Грина
§ 4. Экстремальные свойства собственных функций
§ 5. Разложение по собственным функциям задачи Штурма — Лиувнлля на конечном интервале
§ 6. Сингулярная задача Штурма-Лиувилля
§ 7. Разложение по собственным функциям сингулярной задачи Штурма — Лиувилля на полубесконечном интервале
§ 8. Вычисление спектральной функции (полубесконечный интервал)
§ 9. Разложение по собственным функциям сингулярной задачи Штурма — Лиувилля на интервале, бесконечном в обе стороны
§ 10. Разложение по бесселевым функциям
Глава XXXIII. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
§ 2. Условия, обеспечивающие возможность интегрального преобразования
§ 3. Интегральные преобразования в конечных пределах
§ 4. Интегральные преобразования с бесконечными пределами (общий случай)
§ 5. Некоторые часто применяемые преобразования с бесконечными пределами
Глава XXXIV. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
§ 1. Колебания тяжелой нити
§ 2. Колебания мембраны
§ 3. Распределение тепла в цилиндрическом стержне
§ 4. Распространение тепла в круглой трубе
§ 5. Поток тепла в шаре
§ 6. Стационарный поток тепла в параллелепипеде
Глава XXXV. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ
§ 1. Задача о колебаниях бесконечной струны
§ 2. Линейный поток тепла в полуограниченном стержне
§ 3. Распределение тепла в цилиндрическом стержне, поверхность которого поддерживается при двух различных температурах
§ 4. Установившееся тепловое состояние бесконечного клина
Глава XXXVI. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ КОЛЕБАНИЙ
§ 2. Вертикальный излучатель в однородной среде над идеально проводящей плоскостью
§ 3. Вертикальный излучатель в однородной среде над средой с конечной электропроводностью
§ 4. Магнитная антенна над средой с конечной электропроводностью
§ 5. Поле произвольной системы излучателей
§ 6. Горизонтальный излучатель над средой с конечной электропроводностью
Глава XXXVII. ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
§ 1. Уравнения движения вязкой жидкости
§ 2. Движение вязкой жидкости в полупространстве над вращающимся диском бесконечного радиуса
§ 3. Движение вязкой жидкости в плоском диффузоре

Уравнения в частных производных математической физики

Оглавление