Глава XXXV. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ
§ 1. Задача о колебаниях бесконечной струны
Изучение задач, в которых оказывается целесообразным применение интегральных преобразований с бесконечными пределами интегрирования, начнем с задачи для одномерного волнового уравнения
в области 
при начальных условиях:
где 
заданные функции, обращающиеся в нуль вне некоторой конечной области. К такой задаче мы приходим, например, при рассмотрении колебаний бесконечной струны или малых одномерных колебаний газа и т. д. под влиянием ограниченного начального возмущения
Ядро интегрального преобразования, позволяющего исключить дифференциальные операции по х, должно удовлетворять уравнению
и оставаться ограниченным при всех вещественных х. Последнее требование соблюдается при всех вещественных значениях 
т. е. собственные числа задачи для уравнения (3) имеют непрерывный спектр. При этом
из чего ясно, что следует применить преобразование Фурье.
Осуществив преобразование с ядром 
преобразуем задачу (1) -(2) к виду:
где
Сходимость интегралов (6)-(8) обеспечена тем, что каждая из функций 
обращается в нуль вне некоторой конечной области. Функция и обладает этим свойством, так как за конечный промежуток времени возмущение, распространяясь со скоростью с, проходит лишь конечное расстояние. Решением задачи (4) — (5) является функция
Представив функции 
в показательной форме, подставим функцию и в формулу обратного преобразования Фурье:
что
Сравнив первые два интеграла в правой части этого соотношения с выражением (7), нетрудно видеть, что они равны соответственно 
Чтобы вычислить вторую пару интегралов, заметим, что
откуда следует, что
где а — произвольная постоянная. Полагая здесь 
равным 
без труда найдем, что сумма двух последних интегралов в правой части соотношения (9) равна интегралу
Подставив вычисленные величины в правую часть соотношения (9), придем к решению первоначальной задачи (1)-(2) в форме Даламбера:
С этим выражением мы уже имели дело в гл. IV, § 1.
ЗАДАЧА
(см. скан)
