Глава VI. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

§ 1. Задача Коши

Рассмотрим уравнение

К такому виду, как мы видели в гл. II, § 3, приводится линейное гиперболическое уравнение с двумя независимыми переменными ( непрерывные функции). Уравнение характеристик для уравнения (1) имеет вид

Эти уравнения имеют соответственно решения у их. Следовательно, суть характеристики уравнения (1).

Пусть в плоскости дана дуга кривой которая пересекается не более чем в одной точке с прямыми, параллельными осям координат. Уравнение этой дуги может быть записано в виде или Будем считать, что существуют производные отличные от нуля.

Пусть вдоль дуги кривой I заданы значения

Данные Коши (2) позволяют на кривой найти значения производной Действительно, дифференцируя по х первое из условий (2), получим

откуда

Задача Коши ставится так: требуется найти решение уравнения (1) в некоторой окрестности кривой удовлетворяющее данным Коши (2). Введем функции

Тогда уравнение (1) равносильно системе трех уравнений

Рис. 7

Возьмем в прямоугольнике произвольную точку и проведем через нее характеристики и до пересечения с кривой Интегрируя первое и третье уравнения системы (5) по прямой а второе — по и принимая во внимание (2), (3) и (4), получим:

Очевидно, что если есть решение уравнения (1), удовлетворяющее данным Коши (2), то функции удовлетворяют системе интегральных уравнений (6). Обратно, непрерывное решение ( системы уравнений (6) удовлетворяет, очевидно, системе дифференциальных уравнений (5), а функция и удовлетворяет уравнению (1) и условиям (2). Действительно, из третьего уравнения системы (6) имеем Кроме того, в силу

(4), (5), (3) и первого уравнения (6),

Следовательно, оба уравнения (4) выполняются. Подставляя теперь (4) в первое уравнение системы (5), мы убеждаемся, что функция удовлетворяет уравнению (1). Легко видеть что удовлетворяет и данным Коши (2),

Таким образом, задача Коши свелась к доказательству существования непрерывного решения системы интегральных уравнений (6).

Решение системы (6) будем искать методом последовательных приближений. За нулевое приближение берем

и следующие приближения вычисляются по формулам:

Докажем равномерную сходимость последовательностей в криволинейном треугольнике (рис. 7).

Имеем:

Покажем, что разности удовлетворяют неравенствам:

где — некоторая постоянная.

При справедливость (9) очевидна, если выбрать достаточно большой. Покажем, что эти неравенства останутся справедливыми при замене на Из равенства (8) имеем, например,

Точно так же оцениваются и другие разности Из оценок (9) следует абсолютная и равномерная сходимость рядов

члены которых по абсолютной величине меньше членов равномерно сходящегося ряда

Следовательно, последовательные приближения в криволинейном треугольнике равномерно стремятся соответственно к определенным пределам до и и. Предельные функции непрерывны, так как все последовательные приближения непрерывны. Переходя к пределу в формулах (7), мы получим, что предельные функции и удовлетворяют системе (6).

Единственность решения системы (6). Допустим, что существуют два различных непрерывных решения системы (6)

Обозначим Тогда удовлетворяют однородной системе уравнений

Нужно доказать, что Функции непрерывны и ограничены, как разности непрерывных функций в замкнутом криволинейном треугольнике Значит, существует такая постоянная что

Из (10) имеем:

Применив метод математической индукции, получим следующие оценки

для любого Отсюда следует, что т. е.