§ 4. Распространение тепла в цилиндре конечных размеров

Рассмотрим задачу о распространении тепла в круговом цилиндре радиуса и высоты начальная температура которого равна а поверхность и основания поддерживаются при температуре, равной нулю.

Задача, таким образом, сводится к решению уравнения

при граничных условиях

и при начальном условии

Применяя метод Фурье и определяя постоянные, вводимые этим методом, через граничные условия, мы получим следующие частные решения уравнения (86):

Здесь через обозначены целые положительные числа, как это требует второе из граничных условий (87). Постоянная

связана с корнями уравнения

равенством

Это требование третьего из граничных условий (87). Что касается числа то оно должно быть целым, так как температура цилиндра есть периодическая функция угла 6 с периодом, равным

Взяв теперь сумму всех решений вида (89), распространенную по всем и по всем положительным корням уравнения (90), получим решение задачи в виде ряда:

в котором остается еще определить коэффициенты и Положим с этой целью в, разложении ; тогда, принимая во внимание начальное условие (88), получим

Так как правая часть равенства (93) представляет собой разложение функции в ряд Фурье по то коэффициенты при этих тригонометрических функциях определяются по известным формулам. Таким образом, мы будем иметь:

Каждое из этих равенств представляет собой разложение функции, рассматриваемой как функция от в ряд по функциям Бесселя» Мы знаем, что коэффициенты таких разложений

определяются по формуле (43) гл. XIII, § 5, откуда получается, что

Так как функции образуют ортогональную систему функций на отрезке то обычным приемом находим, что в разложениях (94), (95) и (96) коэффициенты определяются формулами:

Подставляя эти значения коэффициентов в ряд (92), получим окончательное решение задачи