Глава XXVIII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ФУРЬЕ К РЕШЕНИЮ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ

§ 1. Распространение тепла в ограниченном стержне

1. Распространение тепла в стержне, концы которого поддерживаются при нулевой температуре. Задача состоит в отыскании решения уравнения теплопроводности

при граничных условиях

и при начальном условии

где непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную и обращается в нуль при

Согласно методу Фурье, ищем частные решения уравнения (1) в виде

Подставляя (4) в (1), имеем

или

откуда получаем два уравнения

Чтобы получить нетривиальное решение уравнения (1) вида (4), удовлетворяющее граничным условиям (2), необходимо найти нетривиальное решение уравнения (6), удовлетворяющее граничным условиям

Таким образом, для определения функций мы приходим к задаче о собственных значениях

исследованной в задаче о колебании ограниченной струны (см. гл. X, § 1). Там было показано, что только для значений параметра X, равных

существуют нетривиальные решения задачи (8):

Значениям параметра соответствуют решения уравнения (5):

где произвольные постоянные. Итак, все функции

удовлетворяют уравнению (1) и граничным условиям (2) при любых постоянных Составим ряд

Требуя выполнения начального условия (3), получим

Написанный ряд представляет собою разложение заданной функции в ряд Фурье по синусам в промежутке Коэффициенты определяются по известной формуле

Так как мы предположили, что функция непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную и обращается в нуль при то ряд (14) с коэффициентами определяемыми по формуле (15), равномерно и абсолютно сходится к что известно из теории тригонометрических рядов [34].

Так как при

то ряд (13) при также сходится абсолютно и равномерно. Поэтому функция определяемая рядом (13), непрерывна в области и удовлетворяет начальному и граничным условиям. Остается показать, что функция удовлетворяет уравнению (1) в области Для этого достаточно показать, что ряды, полученные из (13) почленным дифференцированием по один раз и почленным дифференцированием по х два раза, также абсолютно и равномерно сходятся в области А это последнее утверждение следует из того, что при любом

если достаточно велико.

Совершенно так же можно показать существование у функции непрерывных производных любого порядка по в области

2. Распространение тепла в стержне, концы которого находятся при заданных переменных температурах. Эта задача сводится к решению уравнения теплопроводности (1) при граничных условиях

и начальном условии

где заданные функции.

Решение ищем в виде ряда

где

Интегрируя два раза по частям, получим

Так как удовлетворяет уравнению (1) и граничным условиям (16), то

Дифференцируя теперь выражение (19) по получим

Исключая интеграл из равенств (20) и (21), получим следующее уравнение для определения коэффициентов

Общее решение этого уравнения имеет вид

где, очевидно,

Чтобы удовлетворить начальному условию (17), требуем выполнения равенства

и, следовательно,

Таким образом, решением задачи будет ряд (18), где определяются равенствами (23) и (24).

Рассмотрим частный случай, когда концы стержня поддерживаются при постоянных температурах, т. е.

Тогда (23) принимает следующий вид

Подставляя в ряд (18), будем иметь

В силу известных соотношений

окончательно получим

3. Распространение тепла в стержне, на концах которого происходит свободный теплообмен с окружающей средой. Задача состоит в отыскании решения уравнения

при граничных условиях

где коэффициент теплообмена, и при начальном условии

Согласно методу Фурье, будем искать частные решения уравнения (26) в виде

Тогда получим уравнения

Чтобы частное решение (29), отличное от тождественного нуля, удовлетворяло граничным условиям (27), очевидно, нужно потребовать выполнения условий

Таким образом, мы приходим к задаче о собственных значениях для уравнения (31) при граничных условиях (31). Интегрируя уравнение (31), получим

Из граничных условий (32) находим

Эта система двух однородных уравнений имеет очевидное решение и мы получаем решение Отбрасывая этот случай, мы должны считать, что по крайней мере одна из постоянных отлична от нуля. Тогда определитель системы (34) должен равняться нулю

Отсюда, после замены

находим

Это уравнение имеет бесчисленное множество вещественны корней, в чем нетрудно убедиться, построив графики кривых (рис. 48)

Из чертежа видно, что в каждом из интервалов лежит положительный корень уравнения (36), а отрицательные корни по абсолютной величине равны положительным.

Рис. 48

Обозначим через положительные корни уравнения (36). Тогда, согласно (35), собственные значения будут

Каждому собственному значению соответствует собственная функция

При общее решение уравнения (30) имеет вид

где произвольные постоянные.

Таким образом, нами найдены частные решения уравнения (26)

удовлетворяющие граничным условиям (27) при любых

Составим ряд

Удовлетворяя начальному условию (28), получим 00

На основании теории задач о собственных значениях (см. гл. X, § 5), собственные функции ортогональны, т. е.

Вычисляя квадрат нормы собственных функций (38), получим

Предполагая, что ряд (42) сходится равномерно, и принимая во внимание (41) и (42), мы найдем коэффициенты по следующей формуле

Внося это выражение коэффициентов в ряд (39), получим решение задачи

Замечание. Когда на поверхности стержня происходит теплообмен со средой, температура которой принимается равной нулю, то уравнение распространения тепла в однородном стержне имеет вид:

Легко проверить, что уравнение (44) простой подстановкой

приводится к уравнению (1) для и.