§ 2. Движение вязкой жидкости в полупространстве над вращающимся диском бесконечного радиуса

Во всех случаях, когда нелинейные члены в уравнениях движения вязкой жидкости не равны нулю в силу данных задачи, точное решение этих уравнений представляет значительные трудности и в большей мере опирается на интуицию и догадку, чем на какой-либо широко применимый метод. Примеры точных решений уравнений движения вязкой жидкости приводятся в этом и следующем параграфах.

Рассмотрим задачу Кармана: бесконечный плоский диск вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью надо найти установившееся движение вязкой жидкости, соприкасающейся с диском и заполняющей полупространство над ним.

Введем цилиндрическую систему координат направив ось по оси диска и выбрав его поверхность в качестве плоскости

В каждой из плоскостей будем различать два движения: круговое, обусловленное вязкими силами в увлекаемой диском жидкости, и радиальное, направленное по радиусам от оси и обусловленное силами инерции. Кроме того, должно существовать вертикальное движение, восполняющее отток жидкости от оси в радиальном движении. Скорость вертикального движения, направленного к диску, должна возрастать по мере удаления от диска, соответственно возрастающему общему количеству жидкости, оттекающей от оси в части пространства между диском и рассматриваемой плоскостью.

Мы потребуем, чтобы осевая составляющая скорости на бесконечности оставалась конечной. Это возможно только в том случае, если скорость радиального оттока жидкости от оси неограниченно убывает с ростом В свою очередь это предполагает неограниченное убывание сил инерции, что возможно только при стремлении скорости кругового движения к нулю при При скорость жидкости совпадает со скоростью поверхности диска.

Таким образом, придем к следующим граничным условиям:

Будем искать решение, предполагая, что скорости радиального и кругового движений пропорциональны расстоянию от оси вращения диска, а вертикальная скорость и давление постоянны в каждой из плоскостей, параллельных плоскости диска. Совместимость этих предположений с данными задачи будет вытекать из непротиворечивости результатов, к которым мы придем. Если бы возникло противоречие, то пришлось бы, используя те или иные физические соображения, выдвинуть иную гипотезу о свойствах искомого решения и сделать новую попытку прийти к непротиворечивым результатам.

В соответствии со сделанными предположениями будем искать решение в виде

где

Множители перед функциями выбраны так, чтобы эти функции были безразмерны, кроме того, вместо введен безразмерный аргумент

Подстановка величин (5) в уравнения Навье-Стокса и неразрывности, записанные в цилиндрических координатах (см. задачу 4 к § 1), и в соотношения (12) для определения функций приведет нас к системе обыкновенных дифференциальных уравнений:

и граничным условиям:

Таким образом, задачу для системы уравнений в частных производных мы привели к задаче для системы обыкновенных

дифференциальных уравнений, чем мы здесь и ограничимся. Отметим лишь, что решение последней задачи в классе функций с непрерывными первыми и вторыми производными существует. Функции были вычислены с помощью численного интегрирования. Их графики читатель может найти в книге Ландау и Лифшица [42].

Если на основании физических соображений считать, что решения стационарных задач гидродинамики вязкой жидкости в классе ограниченных функций с непрерывными первыми и вторыми производными единственны, то решение системы (13), удовлетворяющее граничным условиям (14), и есть искомое.