Глава II. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

§ 1. Типы уравнений второго порядна

Рассмотрим уравнение второго порядка

Коэффициенты заданные функции в области пространства причем Все функции и независимые переменные считаем вещественными

В этом рафе мы дадим классификацию уравнений вида (1) в точке. Зафиксируем определенную точку в области и составим квадратичную форму

Уравнение (1) принадлежит эллиптическому типу в точке если в этой точке квадратичная форма (2) положительно определенная или отрицательно определенная.

Уравнение (1) принадлежит гиперболическому типу в точке если в этой точке квадратичная форма (2) при приведении ее к сумме квадратов имеет все коэффициенты, кроме одного, определенного знака, а оставшийся один коэффициент противоположного знака.

Уравнение (2) принадлежит ультрагиперболическому типу в точке если в этой точке квадратичная форма (2) при приведении ее к сумме квадратов имеет больше одного положительного коэффициента и больше одного отрицательного, причем все коэффициенты отличны от нуля.

Уравнение (1) принадлежит параболическому типу в точке если в этой точке квадратичная форма (2) при приведении ее к сумме квадратов -имеет только один коэффициент, равный нулю, все же другие коэффициенты имеют одинаковые знаки.

Уравнение (1) принадлежит эллиптическому типу соответственно гиперболическому типу и т. д. в области если во всех точках этой области оно принадлежит эллиптическому типу, соответственно гиперболическому типу и т. д.

Если коэффициенты постоянные, то принадлежность уравнения к тому или иному типу не зависит от значений независимых переменных. Простейшим уравнением эллиптического типа является уравнение Лапласа; уравнением гиперболического типа является волновое уравнение и, наконец, уравнением параболического типа — уравнение теплопроводности.