§ 3. Разложение по сферическим функциям

Пусть функция, имеющая ограниченное изменение на шаровой поверхности единичного радиуса и абсолютно интегрируемая на . Покажем, что в точках непрерывности она может быть разложена в равномерно сходящийся ряд по сферическим функциям:

Этот ряд иногда называют рядом Лапласа.

При доказательстве возможности разложения (24) будем опираться на теорему о разложении в ряд по полиномам Лежандра.

Если в промежутке функция абсолютно интегрируема по у, а функция имеет ограниченное изменение, то в любом интервале, лежащем внутри рассматриваемого промежутка и являющемся интервалом непрерывности функции

эта последняя может быть разложена в равномерно сходящийся ряд по полиномам Лежандра:

где

Обозначим через координаты переменной точки на , а через у — угол между радиусами, проведенными из центра шаровой поверхности в точки и

Предположим сначала, что ряд (24) сходится и его можно почленно интегрировать. Умножив этот ряд на полином Лежандра и интегрируя по , в силу соотношений ортогональности (23) получим

откуда

Введем новые сферические координаты с полюсом в точке Заметив, что

перепишем соотношение (25) в виде

где

— среднее значение функции на окружности с центром в точке

Функция имееет ограниченное изменение и абсолютно интегрируема, когда Оузх. В самом деле, функция обладает этими свойствами по предположению, при усреднении же они, очевидно, сохраняются. Кроме того, функция непрерывна в окрестности точки так как функция непрерывна при Следовательно, в точке функция может быть разложена в ряд по полиномам Лежандра:

Здесь учтено, что Но согласно формуле (26) ряд в правой части формулы (27) равен значения определены соотношением (25). С другой стороны, в силу непрерывности функции в точке для любого заданного положительного числа можно указать такое зависящее только от число что при любом

Так как значение лежит между наибольшим и наименьшим значениями величины на окружности то из предыдущего неравенства следует, что при

Поскольку сколь угодно мало, то

Подставив полученные выражения в соотношение (27), получим разложение вида (24), что завершает доказательство.

Так как любая сферическая функция может быть представлена в виде линейной комбинации линейно-независимых ортогональных сферических функций, образующих систему (19), из доказанной теоремы вытекает полнота этой последней системы.

Представив каждую из сферических функций в виде линейной формы от сферических функций системы (19):

и подставив эти выражения в соотношение (24), получим разложение произвольной функции по системе сферических функций (19):

Для читателя не представит затруднений с помощью формул (20) проверить, что коэффициенты ряда (29) определяются следующими соотношениями:

ЗАДАЧА

(см. скан)