§ 5. Звуковое поле при произвольном колебании поверхности шара

В этом параграфе перейдем к более сложной задаче определения поля шара, поверхность которого совершает гармонические колебания определенной частоты с произвольно меняющейся от точки к точке амплитудой и фазой. Эта задача обладает большей общностью, чем представляется на первый взгляд. Действительно, если описать вокруг произвольного источника звука шаровую поверхность таким радиусом, чтобы источник был внутри нее, то поле на этой поверхности однозначно определит поле в пространстве вне ее в силу единственности решения граничных задач для уравнения Гельмгольца. Поэтому, рассматривая шар с произвольно колеблющейся поверхностью, мы получим ряд результатов, относящихся к полю на большом расстоянии от источника, справедливых и для произвольного источника звука.

Напомним предварительно, как может быть учтено изменение фазы колебаний при переходе от одной точки шара к другой. При сдвиге фаз колебания описываются не выражением где амплитуда колебаний, а выражением где -сдвиг фазы. Положим

Тогда, как и в гл. XXIII, формально мы снова вернемся к выражению того же вида, что и при отсутствии сдвига фазы, но число будет комплексным. Введением комплексной амплитуды определяемой соотношением (30), мы и будем учитывать существование сдвига фазы.

Как и в § 2 и 3, будем рассматривать поле избыточного давления которое, как мы знаем (§ 1), удовлетворяет уравнению Гельмгольца

где а — скорость звука в среде, круговая частота колебаний. Требование равенства радиальных скоростей поверхности шара и прилегающих к ней точек среды доставляет граничное условие. В сферических координатах с началом в центре шара оно может быгь записано следующим образом:

где радиус шара (равновесный). Замечая, что производная по с точностью до знака совпадает с производной по направлению нормали к поверхности шара, видим, что мы имеем дело с внешней задачей Неймана для уравнения Гельмгольца. Чтобы ее решение было однозначным, потребуем выполнения условия излучения

чем исключатся из рассмотрения волны, идущие из бесконечности.

Решение будем искать в форме ряда (94) гл. XXIV:

где

Отметим сразу же на основании формул (28), (62) и (64) гл. XIII два предельных соотношения:

которыми мы воспользуемся ниже. Ошибка при замене их предельными значениями при малых х имеет порядок при больших порядок Отсюда, в частности, следует, что стремление при к пределу неравномерно относительно Поэтому замена при больших значениях возможна только при условии Продифференцируем ряд (34) почленно по Воспользуемся для этого формулой (§ 6 гл. XIII)

которая даст

так что, в предположении, что после дифференцирования ряд равномерно сходится при получим

где для краткости обозначено

Если вещественная и мнимая части функции имеют непрерывные частные производные первого порядка, то ее можно разложить в ряд по сферическим функциям:

где коэффициенты могут быть определены по формулам (30) гл. XXI. Сравнив ряды (39) и (41) и приняв во внимание соотношение (31) и граничное условие (32), придем к выводу, что это последнее будет соблюдено, если принять

Введем обозначение

Функции представляют те самые сферические функции, которые входят в разложение

При этом обозначении ряд (39) может быть записан в окончательной форме

Таким образом, формальное решение поставленной задачи найдено в виде бесконечного ряда. Возникает вопрос о сходимости этого

ряда. Покажем, что при любом конечном он сходится и притом абсолютно.

Отбросим конечное число членов ряда (45), выбрав так, чтобы было

Заметим, что первое из этих неравенств влечет за собой неравенство

Воспользуемся теперь следующим асимптотическим представлением функций Ханкеля первого рода:

справедливым при выполнении следующих условий:

которые при очевидно, соблюдаются в силу неравенств (46). Воспользовавшись тем, что будем иметь

Так как близко к единице, и можно написать

откуда

Подставив найденные приближенные выражения в формулу (47), получим

откуда, в силу определения (35) функций следует, что

Положим теперь Тогда, в силу формулы (40), отбросив малые члены, получим

Подставив полученные выражения в ряд (45) без первых членов, видим, что рассматриваемая задача свелась к исследованию сходимости ряда

Но этот ряд заведомо сходится и притом абсолютно, так как а ряд

сходится по предположению.