§ 5. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа

1. Установившаяся температура в однородном твердом теле.

В предыдущем параграфе было установлено, что уравнение распространения тепла в изотропном однородном теле в случае отсутствия источников тепла имеет вид

Допустим теперь, что температура в каждой точке внутри тела установилась, т. е. что она не меняется с течением времени. Тогда и уравнение (47) примет вид

Таким образом, уравнению Лапласа (48) удовлетворяет температура , установившаяся в однородном теле. Для определения теперь не надо уже задавать начальное распределение температуры (начальное условие), а достаточно задать одно граничное условие, не зависящее от времени.

Задача определения решения уравнения (48) по его значениям на границе рассматриваемой области называется задачей Дирихле. Задача определения решения уравнения (48), удовлетворяющего граничному условию называется задачей Неймана.

2. Потенциальное движение несжимаемой жидкости.

Рассмотрим установившееся движение несжимаемой жидкости. Пусть движение жидкости невихревое или, иначе говоря, потенциальное, т. е. скорость есть потенциальный вектор

Для несжимаемой жидкости плотность постоянна, и из уравнения неразрывности (20) имеем

Подставив (49) в (50), получим

т. е. потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа (51).