§ 4. Фундаментальные решения. Функция Грина

Наряду с регулярными решениями уравнений эллиптического типа важную роль играют так называемые фундаментальные решения.

Фундаментальным решением уравнения: называют функцию Леей (гл. XVIII, § 4), которая при удовлетворяет этому уравнению по координатам одной из точек или и зависит от координат другой точки, как от параметров. Будем писать или в зависимости от того, рассматриваем ли мы как переменные, по которым производится дифференцирование, координаты точки I или х. Выражения будем понимать как

Рассмотрим задачу Дирихле:

где непрерывные функции.

Предположим, что как решение задачи (15), так и функция Леви дифференциального выражения непрерывны в замкнутой области V вместе со своими первыми производными. Применив к функции формулу Грина — Стокса (39), гл. XVIII, получим

Если существует фундаментальное решение однородной задачи:

сопряженной задаче Дирихле (15), и если это решение непрерывно в области V вместе со своими первыми производными, то мы можем положить При этом формула (16) примет вид

Таким образом, если существует решение задачи Дирихле (15) и фундаментальное решение однородной сопряженной задачи, причем в области V эти решения непрерывны вместе со своими частными производными по координатам точки то решение задачи (15) можно заменить отысканием фундаментального решения однородной сопряженной задачи, после чего решение задачи (15) определится формулой (18). Эта идея лежит в основе способа Грина решения задач Дирихле.

Фундаментальное решение однородной задачи (17) называют функцией Грина задачи Дирихле (15).

Аналогичным путем вводится функция Грина для задачи Неймана. Рассмотрим задачу:

Предположив, что решение этой задачи, непрерывное в замкнутой области V со своими производными первого порядка, применим формулу Грина-Стокса, что даст:

Пусть фундаментальное решение однородной задачи

сопряженной задаче (19). Если это решение непрерывно в области V вместе со своими первыми производными, то, положив получим:

Таким образом, если функция каким-либо образом найдена и удовлетворяет необходимым требованиям гладкости, то решение задачи (19), непрерывное вместе со своими первыми производными в замкнутой области V, может быть найдено с помощью формулы (21).

Фундаментальное решение задачи (20) называют функцией Грина задачи (19). Употребительны также названия вторая функция Грина и характеристическая функция Неймана.

Рассмотрим две взаимно сопряженные граничные задачи и предположим, что их функции Грина существуют. По определению:

или

Первое граничное условие выполняется для задач Дирихле, второе — для задач Неймана.

Предположим далее, что функции имеют производные первого порядка по координатам точки непрерывные в области Тогда, фиксировав две точки мы можем применить формулу Грина (15) гл. XVIII к функциям в области где эллипсоидальные окрестности точек

определенные неравенствами вида (27) гл. XVIII. Приняв; во внимание соотношения (22) — (24), получим

Перейдем к пределу при Заметив, что в силу соображений, высказанных при выводе формулы Грина-Стокса (гл. XVIII, § 5), справедливы следующие соотношения:

получим формулу

связывающую функции Грина сопряженных граничных задач. В частности, если дифференциальное выражение за самосопряженное, то и из формулы (25) следует, что при этом

Таким образом, если для самосопряженной граничной задачи, поставленной в области У, существует функция Грина непрерывная в области вместе со своими первыми производными, то эта функция симметрична относительно точек