Глава IX. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

§ 1. Задача Коши. Характеристики

Рассмотрим уравнение гиперболического типа

где заданные вещественные функции в некоторой области -мерного пространства Не ограничивая общности, можно считать

Пусть в области задана достаточно гладкая -мерная поверхность и в каждой точке этой поверхности некоторая линия не касательная к и достаточно гладко изменяющаяся при движении вдоль например нормаль к поверхности.

Пусть далее на поверхности заданы значения функции и ее производной первого порядка по направлению Эти значения на поверхности называются начальными данными Коши.

Задача Коши для уравнения (1) становится так: найти решение уравнения (1) в некоторой окрестности поверхности удовлетворяющее на начальным данным Коши.

Начальные данные Коши позволяют определить на поверхности все частные производные первого порядка функции

Рассмотрим уравнение (1) на самой поверхности и поставим вопрос: когда дифференциальное уравнение (1) однозначно определяет на поверхности все производные второго порядка функции через произвольно заданные на начальные данные Коши.

Начнем рассмотрение нашего вопроса с того случая, когда начальные данные Коши имеют специальную форму

т. е. начальные данные заданы на гиперплоскости а за направление I выбрана нормаль. Начальные данные (2) дают нам возможность определить на гиперплоскости все производные первого порядка и все производные второго порядка кроме Для определения этой последней производной мы должны воспользоваться самим уравнением (1), положив в нем Здесь могут представиться два случая:

В случае I мы однозначно определим производную на гиперплоскости

В случае II мы или придем к невозможному равенству или получим тождество.

Перейдем теперь к общему случаю, когда начальные данные Коши заданы на некоторой достаточно гладкой поверхности

В окрестности поверхности введем новые координаты положив

где функции со,- достаточно гладкие и выбраны так, чтобы якобиан преобразования был отличен от нуля на Выразим производные по старым переменным через производные по новым переменным, выписывая лишь те члены, в которые входят интересующие нас производные:

Подставив в уравнение (1), получим

где

и невыписанные члены не содержат производном В силу (3) и (4), начальные данные для преобразованного уравнения (5) задаются на гиперплоскости т. е. они имеют указанный выше специальный вид. Следовательно, в новых независимых переменных можно воспользоваться результатами, полученными выше. Принимая во внимание (6), мы можем, таким образом, утверждать, что для того, чтобы начальные данные Коши на поверхности совместно с дифференциальным уравнением (1) приводили к несовместности или неопределенности при нахождении вторых производных функции и на 5, необходимо и достаточно, чтобы функция удовлетворяла условию

причем это условие должно быть удовлетворено при т. е., иначе говоря, в силу уравнения (3).

Поверхность называется характеристической поверхностью уравнения (1) или просто характеристикой, если в каждой точке этой поверхности имеет место равенство (7).

Подчеркнем, что хотя условие (7) имеет внешний вид уравнения в частных производных первого порядка относительно оно по своему определению еще не является таковым. В самом деле функция не обязана тождественно удовлетворять уравнению (7); по определению, она должна удовлетворять уравнению (7) только при т. е. в каждой точке характеристической поверхности Потребуем теперь, чтобы условие (7) выполнялось не только при но и тождественно относительно Тогда условие (7) будет представлять собой обычное уравнение в частных производных первого порядка, и всякое его решение, отличное от постоянной, будет давать не одну характеристику, а целое семейство характеристик

где С — произвольная постоянная. Наоборот, для того чтобы уравнение (8) определяло семейство характеристик при произвольной постоянной С, необходимо и достаточно, чтобы функция удовлетворяла уравнению (7). Можно показать, что всякую характеристику уравнения (1) можно включить в семейство вида (8) и что, таким образом, решения уравнения (7) определяют все характеристические поверхности.

В качестве примера такого включения рассмотрим волновое уравнение

и конус Уравнение (7) имеет вид

Это уравнение при удовлетворяется, так как

Отсюда следует, что конус является характеристической поверхностью уравнения (9), тогда как поверхности при уже не являются характеристическими поверхностями. Конус можно включить в семейство конусов

Действительно, нетрудно видеть, что удовлетворяет уравнению (10) и, следовательно, все поверхности семейства являются характеристическими поверхностями уравнения (9).

Уравнение (7) называется уравнением характеристик дифференциального уравнения (1).

Если поверхность такова, что ни в одной ее точке равенство (7) не выполняется, то все вторые производные от искомой функции и на однозначно определяются начальными данными Коши и дифференциальным уравнением (1). Если же характеристическая поверхность уравнения (1), то на этой поверхности уравнение (1) представляет собой некоторое дополнительное ограничение, наложенное на начальные данные Коши. Действительно, функции и ее частные производные первого порядка на выражаются через такие же величины на гиперплоскости и наоборот. Пусть

Если есть характеристическая поверхность, то в преобразованном уравнении при и мы имеем уравнение

где невыписанные члены содержат лишь производные первого порядка.

Или, в силу (11),

Это соотношение не приводится, вообще говоря, к тождеству относительно Таким образом не являются независимыми функциями. Отсюда следует, что на характеристической поверхности нельзя задавать произвольно начальные данные Коши.

Отметим, что если не характеристическая поверхность уравнения (1), то из изложенного выше следует, что совершая замену переменных (4), мы можем переписать уравнение (1) в виде

причем поверхность переходит в гиперплоскость Это дает возможность преобразовать задачу Коши с начальными данными на поверхности в задачу Коши с начальными данными на гиперплоскости