§ 6. Функция Грина задачи Неймана для шара

Найдем теперь функцию Грина внутренней задачи Неймана:

когда область V является шаром. Представив функцию Грина в форме (39), для отыскания функции придем к граничной задаче, отличающейся от задачи (40—41) граничным условием:

где площадь поверхности

Сохранив обозначения предыдущего параграфа, снова представим функцию в форме ряда по полиномам Лежандра:

Заметив, что дифференцирование по внешней нормали к поверхности эквивалентно дифференцированию по и что если точка лежит на получим

Далее, согласно формуле (15) гл. XVI, при

откуда

Подставив полученные выражения граничное условие (44) и учтя, что в рассматриваемом случае получим

Это соотношение удовлетворяется тождественно, если

Коэффициент может быть выбран произвольно. Приняв получим

Сравнив первый из этих рядов с рядом (15) гл. XVI, легко найдем, что

Второй из рядов, входящих в равенство (46), также легко может быть просуммирован. С этой целью разделим обе части равенства

где на и проинтегрируем по получившиеся выражения. Приняв во внимание, что

получим

Подставив в качестве отношение найдем, что

Выражения (47) и (48) упрощаются, если ввести расстояние между точкой I и точкой гармонически сопряженной с точкой относительно поверхности рассматриваемого шара. Тогда, как легко видеть, в силу формул (46), (47) и (48), получим

и, в силу формулы (39), найдем, что

Если точка лежит на поверхности то, как мы видели в предыдущем параграфе

вследствие чего

Внося это выражение в формулу (67) и принимая во внимание, что в силу формулы (35) гл. XIX

получим решение задачи Неймана для шара в форме, найденной самим Нейманом из физических соображений:

ЗАДАЧИ

(см. скан)