§ 6. Функция Грина задачи Неймана для шара
Найдем теперь функцию Грина внутренней задачи Неймана:
когда область V является шаром. Представив функцию Грина в форме (39), для отыскания функции
придем к граничной задаче, отличающейся от задачи (40—41) граничным условием:
где
площадь поверхности
Сохранив обозначения предыдущего параграфа, снова представим функцию
в форме ряда по полиномам Лежандра:
Заметив, что дифференцирование по внешней нормали к поверхности
эквивалентно дифференцированию по
и что
если точка
лежит на
получим
Далее, согласно формуле (15) гл. XVI, при
откуда
Подставив полученные выражения граничное условие (44) и учтя, что в рассматриваемом случае
получим
Это соотношение удовлетворяется тождественно, если
Коэффициент может быть выбран произвольно. Приняв
получим
Сравнив первый из этих рядов с рядом (15) гл. XVI, легко найдем, что
Второй из рядов, входящих в равенство (46), также легко может быть просуммирован. С этой целью разделим обе части равенства
где
на
и проинтегрируем по
получившиеся выражения. Приняв во внимание, что
получим
Подставив в качестве
отношение
найдем, что
Выражения (47) и (48) упрощаются, если ввести расстояние
между точкой I и точкой
гармонически сопряженной с точкой
относительно поверхности рассматриваемого шара. Тогда, как легко видеть, в силу формул (46), (47) и (48), получим
и, в силу формулы (39), найдем, что
Если точка
лежит на поверхности
то, как мы видели в предыдущем параграфе
вследствие чего
Внося это выражение в формулу (67) и принимая во внимание, что в силу формулы (35) гл. XIX
получим решение задачи Неймана для шара в форме, найденной самим Нейманом из физических соображений:
ЗАДАЧИ
(см. скан)