§ 8. Вычисление спектральной функции (полубесконечный интервал)

Чтобы практически осуществить разложение (70) — (71), необходимо определить спектральную функцию От ее свойств и зависит, какие именно из функций участвуют в разложении. Если функция скачков со скачками в точках то в разложении играют роль только функции образующие в совокупности полную счетную систему. В общем же случае множество точек роста функции может состоять из счетной последовательности точек, где она имеет скачки, и точек, заполняющих целые интервалы вещественной оси или, быть может, всю ось. Тогда полную систему на интервале образуют функции соответствующие как счетной последовательности точек скачков, так и некоторому непрерывному множеству значений Разложение функции по функциям будет при этом включать интеграл.

Совокупность точек роста спектральной функции называют спектром сингулярной задачи (62) — (63), причем

совокупность точек, в которых спектральная функция имеет скачки, называют дискретным (или точечным) спектром, а совокупность точек роста, в которых спектральная функция непрерывна, — непрерывным спектром.

Спектральная функция а определяется тем, что сингулярная задача (62) - (63) - предельная в отношении задачи (60)-(61) с вещественным граничным условием при Именно она зависит от предела (67), обобщающего условие вещественности (46) граничных данных при Укажем необходимые для ее вычисления соотношения без доказательства.

Если спектральная функция непрерывна в точках то

где интегрирование ведется вдоль прямой проходящей в верхней полуплоскости параллельно вещественной оси, причем переход к пределу происходит из верхней полуплоскости, а то, предел (67), т. е. предельная точка или точка предельной окружности. В последнем случае спектральная функция зависит от параметра с. Фактически, чтобы однозначно определить нет необходимости знать зависимость от с, достаточно указать значение при некотором фиксированном (см. мелкий шрифт в конце параграфа).

В случае предельной точки предел аналитическая функция I в полуплоскости при отношение если на вещественной оси есть полюсы, то они простые, а вычеты в них отрицательны.

В случае предельного круга предел -функция, аналитическая в любой конечной части плоскости комплексного переменного I всюду, за исключением особых точек, являющихся полюсами; все эти полюсы простые и расположены на вещественной оси, а вычеты в них отрицательны; при вещественных I значения вещественны.

Скачки спектральной функции (73) приходятся на полюсы положение которых, таким образом, определяет точечный спектр.

Пусть полюс Вблизи

где — вычет функции в полюсе малые числа, а многоточием обозначены члены, остающиеся конечными при Выберем число столь малым, чтобы в интервале функция не имела других полюсов кроме

Это всегда можно сделать, так как полюсы — изолированные особые точки. Тогда при спектральная функция непрерывна и согласно (72)

Многоточием здесь обозначены члены, стремящиеся к нулю вместе с В пределе при получим

т. е. скачок спектральной функции в точке разрыва равен вычету в этой точке функции взятому с обратным знаком.

Если в интервале функция не имеет полюсов, то в (73) можно перейти к пределу под знаком интеграла. Взяв затем дифференциал от обеих частей (73), получим

Если предел в правой части равен нулю, то и точка X не является точкой роста спектральной функции, т. е. не принадлежит спектру. В случае предельного круга функция вне полюсов непрерывна и вещественна на оси К. Поэтому Следовательно, в случае предельного круга непрерывный спектр отсутствует и разложение (71) есть бесконечный ряд.

В случае предельной точки функция определена однозначно. Согласно (73) этим однозначно определен спектр и, значит, собственные функции сингулярной задачи случае же предельной окружности для однозначной формулировки сингулярной задачи к (62) — (63) необходимо присоединить условие на бесконечности.

Пусть - точка предельной окружности соответствующей фиксированному и Можно показать, что если спектр задачи при выборе на предельной окружности таз точки то определитель Вронского при обращается в нуль, если I принадлежит спектру и отличен от нуля в противном случае. Поэтому искомое условие на бесконечности можно записать в виде

Из всего многообразия полных систем собственных функций задачи им отбирается то, которое соответствует точке на окружности

Если интервал, для которого ставится задача Штурма-Лиувилля, конечен, но на его верхней границе коэффициенты уравнения имеют (неинтегрируемую) особенность, то все изложенное остается в силе, только предельный переход заменяется переходом от интервала где к интервалу

Если сингулярная задача Штурма — Лиувилля поставлена для интервала то все нужные формулы получаются из указанных выше заменой пределов интегрирования по х на а и функции на функцию являющуюся взятым с обратным знаком пределом выражения (46) при

Укажем в заключение несколько простых признаков существования предельной точки:

а) - где -положительное число, а интеграл расходится при или к точке, в которой коэффициенты уравнения имеют особенность;

б) , где положительное число;

в) при (отметим, что при выполнении этих условий спектр дискретен).