§ 7. Разложение по собственным функциям сингулярной задачи Штурма — Лиувилля на полубесконечном интервале

Разложение по собственным функциям сингулярной задачи, как упоминалось, может содержать как сумму, так и интеграл. Удобно — и фактически так обычно и поступают — использовать интеграл Стилтьеса. Тогда сумму можно включить в интеграл и формулы приобретают простой вид. Укажем определение интеграла Стилтьеса, что достаточно для понимания выкладок и смысла формул.

Пусть функции, определенные и конечные на интервале а система неравенств: задает подразделение интервала на части. Составим сумму

Если при беспредельном увеличении числа подразделяющих точек и уменьшении интервалов сумма (56) стремится

к пределу, не зависящему от выбора подразделяющих точек, то этот предел называют интегралом Стилтьеса от функции по функции на интервале и обозначают символом

Интеграл Стилтьеса совпадает с интегралом Римана, когда Если функция имеет интегрируемую производную, то интеграл Стилтьеса выражается через интеграл Римана:

Нас будут интересовать интегралы по неубывающим функциям имеющим конечные разрывы (скачки), когда аргумент К пробегает все вещественные значения от до Простейшим примером является широко употребляемая «единичная ступенчатая функция»:

имеющая в точке разрыв (скачок) Заметим, что эта функция определена так, что она непрерывна при приближении к точке справа. Из определения интегральных сумм (56) для интеграла Стилтьеса ясно, что

Функцию, меняющуюся только в точках принадлежащих некоторой последовательности где она имеет конечные разрывы (скачки), равные называют ступенчатой функцией или функцией скачков. Ее всегда можно представить в виде суммы (конечной или бесконечной):

где единичная ступенчатая функция.

Точки X, такие, что в любой их окрестности есть пара точек, в которых неубывающая функция а имеет различные значения, называют точками роста функции В точках роста может оставаться непрерывной или иметь скачки. В общем случае нас будут интересовать неубывающие функции множество точек роста которых состоит не только из точек скачков. Примером может служить функция где функция скачков вида (59), а неубывающая функция, не имеющая разрывов. Ввиду (58) при такой интеграл Стилтьеса

После этих предварительных замечаний обратимся к задаче Штурма-Лиувилля:

Если она переходит в сингулярную граничную задачу:

Обозначим через последовательность собственных чисел задачи с конечным интервалом а через последовательность ее нормированных собственных функций. Пусть как и выше, — решение уравнения (60), удовлетворяющее начальному условию (38). Тогда оно удовлетворяет и первому из граничных условий (61). Следовательно, когда параметр I равен собственному числу задачи то собственная функция, принадлежащая т. е.

где — нормирующий множитель. Пусть

Функцию можно разложить в ряд (34), сходящийся к ней в среднем. При обозначениях он имеет вид

Введем функцию скачков имеющую скачки при Тогда ряд для можно переписать в виде

Пусть теперь верхняя граница интервала пробегает неограниченно возрастающую бесконечную последовательность чисел а величина в граничном условии (61) — произвольно заданную бесконечную последовательность чисел Сопоставим каждому числу число с тем же Тогда последовательность пар определит некоторую последовательность функций из (66) и последовательность чисел лежащих на окружностях определенных в предыдущем параграфе.

Справедливы следующие предложения, которые приведем без доказательства:

Из последовательности можно выделить такую бесконечную подпоследовательность, что для соответствующей ей последовательности чисел существуют пределы

где предельная точка или точка предельной окружности зависимости от свойств оператора а неубывающая функция, удовлетворяющая неравенству

где - положительное число. В случае предельной точки функция не зависит от выбора последовательности пар В случае предельной окружности для каждого значения с найдется такая последовательность пар что ; при этом функция а зависит от с.

Отметим, что так как а неубывающая функция, а ввиду (69) она ограничена на каждом конечном интервале, то число ее точек скачков не более, чем счетно.

Если то существует функция

-решение уравнения (62), удовлетворяющее начальному условию

и в смысле сходимости в среднем справедливо разложение

где интегрирование ведется вдоль вещественной оси.

Отметим, что равенства (70) и (71) можно записать в форме

Соотношения (70) -(71) являются обобщением соотношений (65) — (66) на сингулярную задачу. Они устанавливают возможность разложения любой функции по функциям

Соотношения можно обратить, рассматривая (70) как разложение функции как определение Это часто необходимо в теоретической физике. Чтобы соотношения были справедливы для любых функций и , интегралы в должны определяться с помощью теории меры Лебега (это ведет к понятию интеграла Лебега — Стилтьеса). В курсах физики об этом не всегда упоминается, так как техника выкладок практически не нуждается в изменениях, а опасность фактической ошибки невелика: существование связи типа (70) — (71) между двумя функциями обычно вытекает из существа физической задачи или постулируется (квантовая механика).