§ 3. Слабый разрыв. Фронт волны

Положим, что существует решение уравнения (1), которое имеет на поверхности

разрыв первого рода для некоторых производных второго порядка, причем само решение и его частные производные первого порядка остаются непрерывными при переходе через поверхность Будем рассматривать это решение и по разные стороны от поверхности (13), как два различных решения уравнения (1). Эти решения имеют на этой поверхности одинаковые данные Коши, но различные значения для производных второго порядка. А тогда на основании § 1 непосредственно следует, что поверхность (13) должна быть характеристикой поверхности уравнения (1). К тому же самому результату мы пришли бы, если бы предположили, что не только само решение и его частные производные первого порядка, но и частные производные второго порядка остаются непрерывными при переходе через поверхность (13), а разрыв первого рода имеет место лишь для производных порядка выше второго.

Вообще говорят, что решение уравнения второго порядка (1) имеет на поверхности (13) слабый разрыв, если при переходе через эту поверхность решение и и его первые производные остаются непрерывными, а некоторые производные порядка выше первого имеют на поверхности (13) разрыв первого рода.

Из предыдущих рассуждений следует, что поверхностью слабого разрыва может быть только характеристическая поверхность.

В уравнениях математической физики одна из независимых переменных, а именно время, играет исключительную роль по сравнению с остальными переменными, которые обычно представляют пространственные координаты. В дальнейшем будем обозначать а пространственные координаты через т. е. будем считать Решение и уравнения (1) будем рассматривать как функцию точки в -мерном пространстве с координатами зависящую от времени как от параметра. Тогда вместо поверхности (13) будем иметь движущуюся поверхность слабого разрыва в пространстве

или в разрешенном относительно виде:

Поверхность со в пространстве будем называть «фронтом волны». С течением времени фронт волны перемещается в направлении вектора Определим величину скорости перемещения фронта волны. Возьмем некоторую точку на поверхности (14) и проведем из нее нормаль к поверхности в направлении вектора Фронт волны в момент времени пересечет нормаль в некоторой точке отстоящей от точки на расстоянии Предел отношения при называется скоростью движения фронта волны. Имеем

и, следовательно, вектор скорости движения фронта волны определяется формулой

В случае фронтом волны будет линия на плоскости Рассмотрим в качестве примера волновое уравнение

Уравнение (7) запишется при этом в виде

Подставив левую часть уравнения в уравнение (17), получим

Следовательно, скорость движения фронта волны будет равна всякая характеристическая кривая на плоскости должна двигаться со скоростью а.

Рассмотрим далее важный частный случай уравнения (1):

где коэффициенты зависят только от переменных причем квадратичная форма положительно определенная.

Уравнение характеристик (7) в данном случае будет иметь вид:

Пусть характеристическая поверхность уравнения (18). Подставив левую часть уравнения в уравнение (19), получим следующее уравнение для функции

Это уравнение должно быть выполнено, строго говоря, в силу Но оно вовсе не содержит следовательно, оно должно быть выполнено тождественно. Соответствующая уравнению (20) характеристическая система имеет вид:

Если мы возьмем некоторую конкретную характеристическую поверхность то из (20) и (21) следует, что образующие ее бихарактеристики должны удовлетворять следующей системе

Здесь роль вспомогательного параметра введенного в § 2, играет время Решения системы (22), рассматриваемые в пространстве суть линии X, определяемые параметрически при помощи параметра При этом, конечно, в пространстве линии А, не будет уже находиться на движущейся поверхности

Линии в пространстве называются лучами. Учитывая уравнение (20) из системы (22), имеем

Это равенство означает, что лучи пересекают фронт волны Вектор с компонентами - в пространстве называется вектором лучевой скорости. Если есть поверхность слабого разрыва, то вектор лучевой скорости представляет собой скорость распространения слабых разрывов в направлении лучей.

Скорость по направлению нормали (скорость фронта волны) и скорость по направлению луча (лучевая скорость) связаны соотношениями

Для волнового уравнения

скорость «фронта волны» и лучевая скорость совпадают по направлению и величине.

В связи с данным выше определением фронта волны подчеркиваем еще раз, что фронт волны является не решением уравнения (1), а лишь поверхностью возможных разрывов решения