§ 3. Нелинейные дифференциальные уравнения с n независимыми переменными

Изложенная в § 2 теория нелинейных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными непосредственно распространяется на уравнение с неизвестными переменными

Поэтому мы ограничимся лишь указанием результатов. Характеристическая система, соответствующая уравнению (34), имеет вид:

где некоторый вещественный параметр

Система (35) имеет первый интеграл

Все решения системы (35), одновременно удовлетворяющие соотношению называются характеристическими полосами. Эти полосы образуют параметрическое семейство.

Положим, что мы проинтегрировали систему (35):

где иначальные значения функций при Будем считать, что эти начальные значения являются функциями параметров:

Подставив это в (36), получим:

Если функциональный определитель

который, в силу первых из уравнений системы (35), может быть записан в виде

не обращается в нуль на начальном многообразии (37) (т. е. при следовательно, в силу непрерывности производных, не обращается в нуль в некоторой окрестности этого многообразия, то величины в этой окрестности могут быть выражены через подставляя эти выражения в и получим определенную поверхность содержащую начальное многообразие (37). Эта поверхность будет интегральной поверхностью уравнения (34), если функции (37) удовлетворяют соотношениям

тождественно по

Задача Коши состоит в отыскании интегральной поверхности уравнения (34), содержащей заданное -мерное многообразие

Многообразие (41) дополним до многообразия (37), определив из уравнений (40). Если при этом определитель (39) отличен от нуля вдоль такого многообразия, то указанный выше метод приводит к решению задачи Коши, и это решение единственно.

Пример. Найти интегральную поверхность уравнения

содержащую -мерное многообразие

Дополним это многообразие, определив из уравнений

Отсюда

Характеристическая система (35) имеет вид

и ее решение, выраженное через начальные данные, будет:

Подставив (43) и (44) в (45), получим:

Исключив из первых четырех уравнений, получим интегральную поверхность