§ 3. Нелинейные дифференциальные уравнения с n независимыми переменными
Изложенная в § 2 теория нелинейных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными непосредственно распространяется на уравнение с 
неизвестными переменными
Поэтому мы ограничимся лишь указанием результатов. Характеристическая система, соответствующая уравнению (34), имеет вид:
где 
некоторый вещественный параметр
Система (35) имеет первый интеграл
Все решения системы (35), одновременно удовлетворяющие соотношению 
называются характеристическими полосами. Эти полосы образуют 
параметрическое семейство.
Положим, что мы проинтегрировали систему (35):
где 
иначальные значения функций при 
Будем считать, что эти начальные значения являются функциями 
параметров:
Подставив это в (36), получим:
Если функциональный определитель
который, в силу первых из уравнений системы (35), может быть записан в виде
не обращается в нуль на начальном многообразии (37) (т. е. при 
следовательно, в силу непрерывности производных, не обращается в нуль в некоторой окрестности этого многообразия, то величины 
в этой окрестности могут быть выражены через 
подставляя эти выражения в и 
получим определенную поверхность 
содержащую начальное многообразие (37). Эта поверхность будет интегральной поверхностью уравнения (34), если функции (37) удовлетворяют 
соотношениям
тождественно по 
Задача Коши состоит в отыскании интегральной поверхности уравнения (34), содержащей заданное 
-мерное многообразие
Многообразие (41) дополним до многообразия (37), определив 
из уравнений (40). Если при этом определитель (39) отличен от нуля вдоль такого многообразия, то указанный выше метод приводит к решению задачи Коши, и это решение единственно.
Пример. Найти интегральную поверхность уравнения
содержащую 
-мерное многообразие
Дополним это многообразие, определив 
из уравнений
Отсюда
Характеристическая система (35) имеет вид
и ее решение, выраженное через начальные данные, будет:
Подставив (43) и (44) в (45), получим:
Исключив 
из первых четырех уравнений, получим интегральную поверхность
