Глава XXXVII. ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
§ 1. Уравнения движения вязкой жидкости
В § 2 гл. VIII мы вывели уравнения движения идеальной жидкости (уравнения Эйлера):
и выяснили, что для соблюдения закона сохранения массы наряду с системой (1) движение любой жидкости должно удовлетворять также уравнению неразрывности:
Напомним, что 
плотность жидкости, 
— компоненты вектора 
скорости жидкости, а 
— давление.
Имея в виду обобщить уравнения Эйлера на случай вязкой жидкости, определим, как меняется импульс 
единицы объема идеальной жидкости. Имеем
Приняв во внимание формулы (1) и (2), после несложных, преобразований получим:
Введя символ
запишем последнее соотношение в форме
где
Система уравнений (3) представляет преобразованную форму системы уравнений Эйлера.
Чтобы выяснить физический смысл величин 
проинтегрируем уравнения (3) по произвольному объему V и применим к их правым частям формулу Остроградского-Гаусса. Это даст
где 
поверхность, ограничивающая объем V, а 
- направляющие косинусы внешней нормали к 
Слева здесь стоят скорости изменения 
-тых компонент импульса жидкости, содержащейся в объеме 
Стало быть, величины 
представляют потоки сквозь поверхность 
количества соответствующих компонент импульса, передаваемые из объема V за единицу времени сквозь элемент поверхности 
Если нормаль к поверхности 
направлена вдоль оси 
то
откуда ясно, что 
есть количество 
-той компоненты импульса, передаваемое в направлении оси 
сквозь единичную площадку, нормальную этой оси, за единицу времени. Вектор 
с компонентами 
будем называть потоком 
компоненты импульса.
Выражение (4) показывает, что поток импульса в идеальной жидкости возникает вследствие действия сил давления и механического перемещения жидкости. Между соприкасающимися частями вязкой жидкости, кроме сил давления, нормальных к границе соприкосновения, действуют силы, лежащие в плоскости, касательной к границе, и стремящиеся уменьшить относительную скорость соприкасающихся частей жидкости. Это последнее явление и называется вязкостью. Наличие вязкости, очевидно, должно привести к появлению в выражении компонент вектора 
членов, характеризующих вязкий перенос импульса. Совокупность этих членов мы обозначим через 
в соответствии с чем вектор 
потока 
компоненты импульса в вязкой жидкости определим с помощью соотношений:
Зависимость величин 
от скорости жидкости может быть установлена из следующих соображений. При отсутствии перемещения одних частей жидкости относительно других член 
должен обращаться в нуль. Следовательно, величина зависит не от самой скорости жидкости, но лишь от ее производных 
по
координатам. Эту зависимость в первом приближении будем считать линейной.
При равномерном вращении жидкости как целого относительные движения частей жидкости отсутствуют. Следовательно, величины 
зависят не непосредственно от производных 
но лишь от таких комбинаций их, при которых из соотношения
где 
компоненты вектора угловой скорости жидкости, вытекает, что 
Линейными комбинациями производных, удовлетворяющими этому требованию, являются выражения:
Вектор наиболее общего вида, который можно образовать из этих выражений, будет иметь компоненты:
где величины 
и 
не зависят от скорости жидкости. Это выражение обычно преобразуют к виду:
при котором сумма членов с 
не зависит от 
Величины 
и называют коэффициентами вязкости. Для реальных жидкостей оба эти коэффициента положительны.
Заметив, что система (3) связывает производные 
компонент импульса единицы объема жидкости с потоком этих компонент и, следовательно, ее вид не зависит от конкретной картины сил, действующих в жидкости, для отыскания уравнений движения вязкой жидкости подставим в систему (3) выражения (5) при только что определенных общих выражениях для членов 
В результате получим наиболее общую систему уравнений движения вязкой жидкости:
Если коэффициенты 
постоянны во всей массе жидкости, эта система примет вид:
где 
оператор Лапласа. Наконец, если жидкость несжимаема, то 
и мы придем к системе уравнений Навье — Стокса:
где 
коэффициент кинематической вязкости.
К системе уравнений движения вязкой жидкости при решении конкретных задач следует присоединить еще уравнение неразрывности (2), вид которого одинаков для идеальной и вязкой жидкостей.
Граничные условия для системы уравнений движения вязкой жидкости установим из физических соображений.
Благодаря действию сил молекулярного сцепления, слой жидкости, непосредственно прилегающий к твердой стенке, движется (или покоится) вместе с этой последней. Поэтому на границе, разделяющей твердую и жидкую среды, следует принять
где 
компоненты скорости перемещения границы (твердой стенки).
По тем же соображениям, скорости соприкасающихся жидкостей на разделяющей их границе также должны быть равны. Однако, так как граница соприкосновения жидкостей деформируема, мы должны ввести добавочное условие, что силы, с которыми жидкости действуют друг на друга на границе, равны по величине и противоположны по направлению. Для математической формулировки последнего условия заметим, что на основании второго закона Ньютона компоненты вектора силы, действующей на элемент поверхности 
равны потоку соответствующих компонент импульса через этот элемент поверхности. Относя силу к единице площади, для ее компонент 
получим выражение:
где 
— направляющие косинусы нормали к поверхности, а
Величины, относящиеся к одной из жидкостей, будем отмечать верхним индексом а, а к другой — верхним индексом 
При этом условие равновесия сил примет вид 
Заметив, что 
запишем условие равновесия в окончательной форме:
где в качестве величин 
можно подставить либо либо 
Отметим, что силу, приложенную к единичной площадке, произвольным образом ориентированной в вязкой жидкости, можно разложить на две составляющих: нормальную
и тангенциальную, выражение для которой мы выписывать не будем. Совокупность членов в выражениях для этих составляющих, не зависящую от компонент скорости 
называют напряжениями, соответственно нормальным и скалывающим (или тангенциальным). Таким образом, граничное условие (10) представляет условие равенства напряжений в обеих жидкостях на границе их соприкосновения.
Перейдем, наконец, к граничному условию на свободной поверхности вязкой жидкости. Напряжение на свободной поверхности, очевидно, должно быть равно нулю, что приведет к условию
или
где 
— направляющие косинусы нормали к свободной поверхности.
ЗАДАЧИ
(см. скан)
