§ 12. Энергия гравитационного поля. Задача Гаусса
Проблему энергии гравитационного поля затронем в связи с проблемой о равновесном распределении масс (задача Гаусса).
Как известно из курса физики, энергия системы распределенных тяготеющих масс с точностью до постоянного слагаемого равна
где 
потенциал поля тяготения, 
плотность вещества, к — гравитационная постоянная, а интегрирование распространено на любую область, содержащую все тяготеющие массы внутри себя. Будем считать, что среди этих областей есть конечная (т. е. масс на бесконечности нет). Знак минус перед интегралом обусловлен действием между тяготеющими массами сил притяжения. Для системы одноименных электрических зарядов положение было бы обратным, в соответствии с чем правая часть (58) имела бы обратный знак.
Подставив в равенство (58) значение 
из уравнения Пуассона и применив формулу Грина (7) гл. XVIII при 
получим
Если интегрирование распространить на все пространство (что, очевидно, не изменит значения интеграла (58)), то интеграл по поверхности 
обратится в нуль, вследствие чего придем к соотношению
Стоящий здесь справа интеграл — это уже известный нам интеграл Дирихле, который, таким образом, характеризует энергию поля.
Интегралы (58) и (59) иллюстрируют два возможных представления о поле. Интеграл (58) связывает энергию поля с распределением масс, так как подынтегральное выражение обращается в нуль в областях, где масс нет. Это позволяет истолковать энергию поля, как энергию взаимодействия масс, связанную с самими массами. Интеграл же (59) выражает энергию только через потенциал поля, причем каждому элементу объема поля, — в том числе и в тех частях пространства, где никаких масс нет — соответствует определенное, отличное от нуля, значение подынтегрального выражения, как если бы в каждом элементе объема поля было локализовано некоторое количество энергии. Это позволяет истолковать энергию 
как энергию собственно гравитационного поля, которое при этом естественно рассматривать как самостоятельный физический объект. В связи с этим величину
называют плотностью энергии гравитационного поля.
Перейдем теперь к знаменитой задаче Гаусса: при каких распределениях массы внутри и на заданной поверхности 
потенциальная энергия поля имеет экстремумы.
Эта задача тесно связана с проблемой равновесия масс. Система покоящихся масс находится в состоянии устойчивого равновесия,
если энергия их взаимодействия имеет минимальное значение, совместимое со связями, ограничивающими возможные конфигурации системы (принцип минимума потенциальной энергии). В противном случае равновесия нет или состояние равновесия неустойчиво.
Воспользуемся вариационными методами. Варьируя плотность 
в некоторой конечной области будем искать такое распределение масс в этой области, при котором вариация энергии их гравитационного поля
Это распределение и будет соответствовать экстремуму. Из соотношения (58)
где V — область, заключающая область 
внутри себя или совпадающая с ней, 
произвольная вариация плотности массы, подчиненная только условию сохранения массы в области 
вариация потенциала, обусловленная вариацией 
Положим теперь в формуле Грина (7) гл. XVIII 
, что даст
Устремим объем V к бесконечности. Вне области, занятой массами, функции 
гармоничны. Поэтому на основании леммы о поведении гармонической функции на бесконечности (гл. XIX, § 3), заключим, что подынтегральное выражение в интеграле по 
стремится к нулю, как 
в силу чего на бесконечности этот интеграл обращается в нуль. Следовательно,
что после подстановки
даст
Так как 
и условие (62) эквивалентно следующему:
Но это последнее может выполняться для вариации 
подчиненной лишь условию (63), только тогда, когда в области V потенциал 
Но если 
внутри области, то ввиду непрерывности потенциала он должен быть равен 
и на поверхности 
что, как мы знаем, возможно только при распределении массы на 
в виде уровенного слоя.
Таким образом, энергия гравитационного поля масс, расположенных в области 
имеет экстремум, когда вся масса распределена на границе 
области в виде уровенного слоя. Отсюда, в частности, следует, что при указанном распределении достигается и экстремум интеграла Дирихле.
Легко видеть, что экстремум при уровенном распределении масс является максимумом по сравнению с любым распределением масс внутри области V? и минимумом по сравнению с любым распределением этих же масс вне или на поверхности 
Отсюда следует, что если массы с поверхности 
могут проникать внутрь области 
то уровенное распределение неустойчиво, в противном же случае оно устойчиво. Поэтому, например, жидкость, «налитая на непроницаемую для нее поверхность 
под действием сил тяготения будет распределяться на ней в виде уровенного слоя.
Иначе обстоит дело при распределении одноименных электрических зарядов. В этом случае вместо притяжения имеет место отталкивание, и энергия поля определяется выражениями вида (58) и (59), взятыми с обратным знаком. Поэтому уровенное распределение зарядов, могущих перемещаться только в некотором конечном объеме 
устойчиво. Отсюда вытекает, что свободные заряды, содержащиеся в проводнике, в состоянии равновесия располагаются на поверхности проводника, образуя уровенный слой, в силу чего потенциал проводника во всех его точках имеет одинаковое значение. Из последнего обстоятельства, в частности, следует, что электростатическое поле внутрь проводника не проникает. Действительно, если потенциал поля постоянен, то напряженность поля равна нулю.
ЗАДАЧИ
(см. скан)
