§ 6. Поверхности Ляпунова

А. М. Ляпунов, которому принадлежит ряд результатов в области теории потенциала, предполагал, что поверхности на которых располагается простой или двойной слой, удовлетворяют следующим условиям:

а) в каждой точке поверхности существует единственная нормаль;

б) можно указать столь малый радиус, что из какой бы точки поверхности ни был описан этим радиусом шар, часть поверхности, попадающая внутрь шара, пересекается прямыми, параллельными нормали в точке не более, чем в одной точке;

в) угол между нормалями в двух произвольных точках поверхностей не превосходит величины где — — расстояние между этими точками, а постоянные числа, причем

Удовлетворяющие этим условиям поверхности называют поверхностями Ляпунова.

Предположения § 1, гл. XVIII о свойствах граничных поверхностей обеспечивают выполнение первых двух условий Ляпунова. Выполнение первого из них для гладких поверхностей очевидно. Покажем, что выполняется второе.

Введем в произвольно выбранной точке поверхности местную систему декартовых координат, направив ось 3 вдоль внешней нормали к поверхности в точке По предположению § 1, гл. XVIII о граничных поверхностях, внутри некоторого шара уравнение поверхности можно записать в виде

где функция и ее производные первого порядка непрерывны внутри шара и обращаются в точке в нуль.

По известным формулам аналитической геометрии, направляющие косинусы нормали к в точке равны

где частные производные функции по и в рассматриваемой точке. Заметим, что угол равен углу между нормалями в точках и Радиус а шара можно выбрать настолько малым, чтобы при любом выборе точки внутри шара было в силу этого, имело место неравенство

При этом изгиб поверхности внутри шара не превзойдет следовательно, любая прямая, параллельная нормали в точке пересечет часть поверхности лежащую внутри этого шара, не более, чем в одной точке.

Чтобы установить связь предположений § 1, гл. XVIII с третьим условием Ляпунова, из формул (28) найдем, что

Поскольку, по предположению, производные непрерывны, радиус а шара 111 а можно выбрать столь малым, чтобы при любом выборе точки на был бы меньше любого наперед заданного числа. Так как при малых имеет место неравенство то можно найти такую положительную постоянную чтобы внутри шара выполнялось неравенство

Если производные кроме условий § 1, гл. XVIII, внутри шара удовлетворяют еще и условию Гёлъдера:

где ограниченное положительное число, причем показатель К удовлетворяет неравенству то приняв во внимание, что придем к неравенству

Таким образом, если первые производные функции удовлетворяют условию Гёльдера, причем то третье условие Ляпунова выполняется внутри шара Но оно при этом удовлетворяется и для всей поверхности Действительно, пусть

две произвольные точки на поверхности угол между нормалями в этих точках. Соединим точки линией, лежащей целиком на поверхности Эту линию разобьем на участки точками, отстоящими друг от друга не более чем на расстояние а, при котором для двух соседних точек выполняются неравенства вида (31). Обозначив через угол между нормалями на концах участка с номером а и через — расстояние между концами участка, можем записать очевидные неравенства:

откуда, с учетом неравенств вида (31) для каждого из участков а, и вытекает справедливость третьего условия Ляпунова.

Таким образом, чтобы удовлетворить третьему условию Ляпунова, к предположениям § 1, гл. XVIII надо добавить предположение, что первые производные удовлетворяют условию Гёльдера (30), причем Это предположение ниже будем считать выполненным.

Найдем некоторые неравенства, следующие из выполнения условия Гёльдера для производных и

Из формул (28) вытекает, что надлежаще выбрав числа можно добиться выполнения неравенств

Заметив, что по формуле конечных приращений

где число, лежащее между нулем и единицей, и приняв во внимание очевидные неравенства при надлежаще выбранных числах придем к неравенству

ЗАДАЧА

(см. скан)