§ 9. Тангенциальные производные потенциала простого слоя и производные по любому направлению

Предположим, что направление параллельно касательной плоскости к поверхности Ляпунова 5 в точке а нормаль к в этой же точке. Пусть точка х, перемещаясь по нормали в одном направлении, приближается к Предел интеграла

при назовем тангенциальной производной потенциала простого слоя в точке Если точка приближается к поверхности с ее внутренней стороны, то эту производную называют внутренней, в противном случае производную называют внешней.

Приведем некоторые результаты, относящиеся к свойствам тангенциальных производных, без доказательств, которые читатель может найти, например, в [3], гл. XIX, § 9.

Внутренняя и внешняя тангенциальные производные потенциала простого слоя существуют или не существуют одновременно. Для доказательства же их существования, кроме предположения о непрерывности плотности надо сделать дополнительные предположения о ее поведении в окрестности точки Эти предположения могут быть различными и являются достаточными. Необходимость какого-либо из них не доказана.

Если плотность простого слоя в окрестности точки удовлетворяет условию Гёльдера

где положительные постоянные, а две произвольные точки рассматриваемой окрестности, то внешняя и внутренняя тангенциальные производные в точке совпадают и являются непрерывными функциями от на поверхности

В точке интеграл (46) сходится условно. Иначе говоря, значение интеграла (46), рассматриваемого как предел

окрестность точки зависит от способа, которым Поэтому определенного прямого значения тангенциальной производной не существует, хотя существуют определенные внешняя и внутренняя тангенциальные производные, равные между собой. Иными словами, интеграл (46) при пересечении точкой х поверхности испытывает устранимый разрыв.

Если точка приближается к поверхности оставаясь внутри и в каждом ее положении определяется производная по некоторому неизменному направлению то предел производной называется внутренней производной по направлению I в точке поверхности. Аналогично определяется внешняя производная по направлению I в точке поверхности.

Если плотность простого слоя, расположенного на поверхности Ляпунова удовлетворяет условию Гёльдера (47), то при

приближении к поверхности производные потенциала простого слоя по произвольному фиксированному направлению стремятся к определенным пределам, не зависящим от пути, по которому производится приближение, но, возможно, различным при приближении извне или изнутри поверхности Справедлива формула