§ 4. Разделение переменных в уравнении Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах

С помощью формул (3) и (4) гл. XIX найдем, что уравнение Гельмгольца имеет вид: в цилиндрических координатах

в сферических координатах

Уравнения (42) и (43) допускают разделение переменных. Положив в случае цилиндрических координат

и подставив это выражение в уравнение (42), получим

Поскольку член зависит только от а остальные члены

от не зависят, то должно быть

где - некоторая постоянная. Умножив второе из уравнений (45) на заключим также, что должно быть

где также постоянное число. Числа и V называют постоянными разделения.

Перепишем найденные уравнения в виде

С помощью решений уравнений могут быть построены собственные функции для областей, имеющих форму цилиндра, полого цилиндра, а также цилиндра или полого цилиндра с вырезанным по радиальным плоскостям сектором.

Построим, например, собственные функции граничной задачи для уравнения (42) при граничном условии

где положительные постоянные. Область V в данном случае представляет цилиндр:

Из условия однозначности и непрерывности собственных функций в изучаемой области следует, что по координате они должны иметь период вследствие чего в уравнении (47) следует положить: При этом общее решение уравнения (47) будет иметь вид где — произвольная постоянная.

Решениями уравнения Бесселя (46), регулярными при являются функции Бесселя Поэтому положим и Так как на поверхности то, подставив найденное выражение в граничное условие (49), получим уравнение

определяющее допустимые значения постоянной разделения Как известно из теории бесселевых функций, это уравнение имеет бесчисленное множество различных корней: которые будем считать перенумерованными в порядке их возрастания.

Обратимся, наконец, к уравнению (48). При общее решение имеет вид

где

Подставив выражение для функции в граничное условие (49), для определения постоянных получим систему однородных уравнений

Нетривиальные решения этой системы существуют, если ее определитель равен нулю, т. е. если

Корни этого уравнения, перенумерованные в порядке их возрастания, обозначим через Постоянные при этом могут быть представлены выражениями

а общее выражение функции примет вид

Перемножив найденные выражения функций найдем общее выражение собственных функций рассматриваемой задачи:

где произвольные постоянные. Собственные числа задачи определяются соотношением

Для нас также представит интерес выписать общее выражение для решений уравнения Гельмгольца, имеющих вид: при изменении угла в интервале В этом случае где целое число, и решение уравнения (47), как и выше, имеет вид: Общее решение уравнения Бесселя (46) при обозначим через Наконец, общее решение уравнения (48) запишем в виде: где произвольная постоянная. Таким образом, искомое общее

выражение решения вида (44) может быть записано в виде

где - произвольная постоянная.

Перейдем к рассмотрению разделения переменных в уравнении Гельмгольца в сферических координатах. Подставив в уравнение (43) выражение после разделения переменных получим уравнения:

где постоянные разделения.

Найдя соответствующие решения этих уравнений, можно построить собственные функции областей, имеющих форму шара, полого шара, а также шара или полого шара с вырезом либо в виде кругового конуса с вершиной в центре шара, либо в виде части его, заключенной между двумя полуплоскостями, выходящими из одного диаметра.

Если изучаемая область охватывает полный диапазон изменения угла то функция должна иметь период Общее решение уравнения (53), удовлетворяющее этому требованию, имеет вид

где произвольная постоянная.

Уравнение (52) при где — целое число, представляет уравнение присоединенных полиномов Лежандра Как мы знаем (гл. XXI), произведения присоединенных полиномов Лежандра на функции вида (54) образуют полную систему сферических функций в интервалах изменения переменных и 0. Поэтому, для данных интервалов изменения переменных и 0, в состав собственных функций не может входить никаких других произведений, линейно-независимых с указанными. Следовательно, если изучаемая область охватывает полный диапазон изменения угла то надо положить

Перейдем к уравнению (51). При с помощью подстановки оно преобразуется в уравнение Бесселя полуцелого порядка:

решения которого обозначим через Тогда

Перемножив функции и придем к следующему общему выражению собственных функций для областей, в которых координаты и меняются в интервалах , (шар и полый шар):

Конкретный выбор решения и собственные числа определятся заданным граничным условием.

Рассмотрим, например, граничнсе условие

соответствующее задаче Дирихле для полого шара с внутренним радиусом и внешним радиусом Общее решелие уравнения (55) имеет вид

откуда

Подставив это выражение в заданнсе граничнсе условие, для определения постоянных получим систему уравнений:

Нетривиальные решения этой системы существуют, если ее определитель равен нулю, т. е. при значениях параметра удовлетворяющих условию

Корни этого уравнения, перенумерованные в порядке их возрастания, обозначим через При

вследствие чего можно положить

Отсюда для собственных функций задачи Дирихле, поставленной в области, имеющей вид полого шара, получим выражение:

где произвольные постоянные.

ЗАДАЧИ

(см. скан)