§ 4. Установившееся тепловое состояние бесконечного клина

Рассмотрим бесконечный клин с углом раствора Предположим, что боковые поверхности клина поддерживаются при температуре, равной нулю, за исключением двух полос шириной а, примыкающих к ребру клина, которые поддерживаются при температуре Найдем установившееся распределение температуры в клине.

Введя на плоскости, перпендикулярной ребру клина, полярные координаты с началом на ребре клина, придем к задаче Дирихле:

Попытаемся исключить дифференциальные операции по Для этого, представив уравнение Лапласа (22) в форме

рассмотрим дифференциальное выражение

В этом выражении откуда

Следовательно, ядро интегрального преобразования, с помощью которого можно исключить дифференциальные операции по координате должно быть решением уравнения

Это уравнение принадлежит к типу уравнений Эйлера. Легко видеть, что ему удовлетворяют функции что приводит для произведения к выражению 1. Положив где вещественное число, мы придем к ядру преобразования Меллина.

Применив в интервале преобразование Меллина, приведем задачу к виду:

где

Правая часть уравнения (24) равна нулю, так как в рассматриваемом случае

Возникает, конечно, вопрос, в какой мере соблюдаются условия, обеспечивающие возможность применения преобразования Меллина. Однако помимо общих соображений, которые можно высказать о характере убывания функции на бесконечности, как гармонической функции, мы сможем это проверить по выражению для обратного преобразования § 5, гл. XXXIII).

Подчинив общее решение Лсоэ уравнения (24) граничным условиям (25), получим:

откуда

Применим теперь формулу обратного преобразования, что даст

Подынтегральное выражение имеет полюс при и следующий полюс при При подынтегральная функция аналитична, равномерно стремится к нулю, когда а интеграл сходится при всех Последнее вытекает из оценки модуля при Действительно, положим так что Тогда

Если выражение имеет порядок и экспоненциально убывает, так как в силу неравенства

К аналогичному результату придем и при Это и доказывает сходимость рассматриваемого интеграла. Таким образом, преобразование Меллина имеет смысл во всей представляющей для нас интерес области

В интеграле (26) путь интегрирования может быть смещен на мнимую ось, если полюс обойти по малой полуокружности (в правой полуплоскости). Интеграл по полуокружности будет равен вычету подынтегральной функции при умноженному на т. е. Интеграл же по мнимой оси с исключенной окрестностью точки будет равен главному значению интеграла

Подынтегральное выражение в последнем интеграле можно упростить Именно, в выражении

достаточно сохранить только нечетную часть, так как функция нечетна и главное значение рассматриваемого интеграла от этой части равно нулю. После этого подынтегральное выражение окажется четным и интегрируемым в обычном смысле в окрестности точки вследствие чего интегрирование можно будет вести только вдоль положительной части вещественной оси.

Учитывая сделанные замечания, формулу (26) можно переписать в виде

Эта формула и решает поставленную задачу.

ЗАДАЧА

(см. скан)