§ 3. Задача о распределении электричества на индуктивно заряженном шаре

Применим теорию сферических функций к решению следующей электростатической задачи.

Допустим, что имеется некоторое тело В из диэлектрика, причем объемная плотность

электрических зарядов, распределенных в теле, представляет собою известную нам функцию от координат точки х (рис. 42).

Допустим далее, что вблизи тела В помещается шаровой проводник С, имеющий некоторый заряд Вследствие индукции на этом проводнике распределится непрерывным образом некоторый электрический слой. Поставим себе задачей определить плотность этого слоя в любой точке лежащей на поверхности проводника. С этой целью обозначим через потенциал электростатического поля в какой-нибудь точке находящейся внутри проводника.

Рис. 42

Этот потенциал может быть представлен в виде суммы:

где через обозначен потенциал, получающийся от присутствия заряда в теле а через потенциал, вызываемый тем зарядом, который индуцируется на поверхности проводника.

Обратимся сначала к определению потенциала Из § 1 гл. XIX известно, что этот потенциал определяется формулой:

где через обозначено расстояние от точки до переменной точки тела В. Отсюда вытекает, что

где

Взяв теперь разложение (гл. XVI, § 5):

можем представить потенциал в виде бесконечного ряда

где ради краткости положено:

Так как по условию представляет собой функцию, известную во всем объеме В, то очевидно, что функции вполне определяются формулой (19).

Обратимся теперь к нахождению потенциала Обозначим через

искомую плотность слоя на поверхности проводника. Тогда потенциал электрического слоя в точке определится формулой

где

Отсюда вытекает, что потенциал может быть представлен в виде следующего бесконечного ряда:

Допустим теперь, что функция разложена в ряд по сферическим функциям:

Очевидно, что определив функции мы найдем, согласно формуле (20), искомую плотность электрического слоя. Для нахождения этих функций внесем разложение (22) в формулу (21). Тогда, вспоминая интегральные соотношения (23) гл. XXI, получим разложение:

из которого, в силу формул (17) и (18), вытекает, что

Но нам известно, что потенциал имеет постоянное значение внутри проводника; следовательно, правая часть найденного разложения должна быть независимой от что возможно лишь при выполнении равенств:

Эти равенства определяют функции следующим образом:

Теперь нам остается определить лишь функцию

для чего достаточно сравнить между собой коэффициенты при в правых частях разложений (21) и (23). В результате такого сравнения получим

откуда найдем, что

где поверхность шара Принимая затем во внимание, что

где как было упомянуто выше, обозначает полный заряд проводника, найдем искомую функцию

Внося найденные нами значения сферических функций в разложение (22), получим следующее выражение плотности слоя:

где функции определяются на основании формулы (19).

Формула (27) показывает, что плотность электрического слоя, распределенного на поверхности сферического проводника, состоит из двух частей: 1) из плотности

представляющей собой плотность заряда равномерно распределенного по всей поверхности шара так, как будто бы внешние электрические силы отсутствуют; 2) из плотности

индуцированной зарядами тела В.

Остановимся более подробно на частном случае формулы (27), когда вместо заряженного тела имеется точечный заряд индуцирующий электрический заряд на шаре С.

Обозначим по-прежнему через какую-нибудь точку внутри шара С, а через — сферические координаты точки х, в которой сосредоточен заряд Тогда будем иметь

где

Сравнив это разложение с формулой (18), найдем, что

Подставив теперь последнее выражение в формулу (27), получим следующий результат:

где

Но при помощи дифференцирования по разложения (28) нетрудно доказать справедливость такого рода равенства:

откуда уже окончательно вытекает следующая формула для искомой плотности

где определяется по вышеуказанной формуле.