§ 6. Формула Грина — Стокса в случае двух измерений

Построение функций Леви и вывод формулы Грина — Стокса на плоскости производятся почти так же, как и для случая пространства. Рассмотрим функцию

определенную в замкнутой ограниченной плоской области 5. Обозначения в правой части здесь аналогичны обозначениям § 4. Справедливо тождество

и в любой замкнутой области, содержащейся в имеют место неравенства

положительные числа, не зависящие от выбора точки х. Функцию вида

назовем функцией Лееиу если функция ограничена в рассматриваемой области, при непрерывна вместе со своими первыми и вторыми производными по координатам точки и в любой замкнутой области, содержащейся в 5, удовлетворяет неравенствам

положительные числа, не зависящие от выбора точки

При указанном определении функций Леви на плоскости, справедлива формула Грина-Стокса:

где — плоская область.

ЗАДАЧА

(см. скан)