§ 6. Формула Грина — Стокса в случае двух измерений
Построение функций Леви и вывод формулы Грина — Стокса на плоскости производятся почти так же, как и для случая пространства. Рассмотрим функцию
определенную в замкнутой ограниченной плоской области 5. Обозначения в правой части здесь аналогичны обозначениям § 4. Справедливо тождество
и в любой замкнутой области, содержащейся в
имеют место неравенства
положительные числа, не зависящие от выбора точки х. Функцию вида
назовем функцией Лееиу если функция
ограничена в рассматриваемой области, при
непрерывна вместе со своими первыми и вторыми производными по координатам точки и в любой замкнутой области, содержащейся в 5, удовлетворяет неравенствам
положительные числа, не зависящие от выбора точки
При указанном определении функций Леви на плоскости, справедлива формула Грина-Стокса:
где
— плоская область.
ЗАДАЧА
(см. скан)