§ 4. Распространение разрывов по лучам

Пусть есть поверхность слабого разрыва решения и уравнения (1). Чтобы охарактеризовать поведение разрывов решения при их распространении вдоль лучей, обратимся снова к уравнению (18). Введем новые независимые переменные

Тогда уравнение (18) запишется в виде:

где

а невыписанные члены не содержат производных по На характеристической поверхности уравнение (24), в силу (20), принимает следующий вид

Отметим, что коэффициент — при в уравнении (24) обращается в нуль не только на характеристической поверхности но и на поверхностях поскольку последние поверхности являются характеристическими. Поэтому на этих характеристических поверхностях мы имеем равенство (26).

Принимая во внимание уравнение (22), первое слагаемое в уравнении (26) можно записать в виде:

где производная в направлении луча. Учитывая это, уравнение (26) можно записать в виде:

Продифференцируем теперь уравнение (27) по 1 и рассмотрим полученное таким образом уравнение в двух точках лежащих на одном луче, но по разные стороны характеристической поверхности Вычтем одно из этих уравнений из другого и устремим точки к точке лежащей на том

же луче на поверхности В результате получим так называемое уравнение распространения разрывов

где скачок второй производной при переходе через поверхность слабого разрыва а величина определенная равенством (25), известна на поверхности слабого разрыва и, следовательно, на бихарактеристиках, а значит, и на лучах. Уравнение (28) имеет вид обыкновенного дифференциального уравнения и показывает, что величина скачка не может обратиться в нуль ни в одной точке луча, если он где-нибудь на нем отличен от нуля.