ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

К уравнениям параболического типа приводят задачи, связанные с процессами теплопроводности и диффузии, с распространением электромагнитных полей в проводящих средах, с движением вязкой жидкости и др.

Простейшим представителем параболических уравнений является уравнение теплопроводности

Глава XXVI. ПОСТАНОВКА ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ. ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ

§ 1. Первая граничная задача. Теорема о максимуме и минимуме

Постановка задачи. Пусть ограниченная область пространства Обозначим через в пространстве цилиндр, основание которого есть область и образующие которого параллельны оси Пусть — часть этого цилиндра, ограниченная снизу плоскостью и сверху плоскостью Часть границы цилиндра состоящую из его нижнего основания и боковой поверхности, обозначим через

Рассмотрим следующую задачу: найти в цилиндре решение уравнения теплопроводности

удовлетворяющее начальному условию

и граничному условию

где граница области точка поверхности Функции непрерывны, причем значения при совпадают со значениями на границе

Задача нахождения решения уравнения (I) при условиях (2), (3) называется первой граничной задачей для уравнения теплопроводности.

Теорема. Функция удовлетворяющая однородному уравнению теплопроводности (1) внутри цилиндра и непрерывная вплоть до его границы, принимает наибольшее и наименьшее значения на т. е. или при или на боковой поверхности цилиндра

Так как теорема о минимуме сводится к теореме о максимуме переменой знака , то мы ограничимся доказательством теоремы о максимуме.

Обозначим через наибольшее значение функции и(х, в цилиндре а через наибольшее значение на Допустим, что существует такое решение для которого т. е. для которого теорема о максимуме неверна. Пусть эта функция принимает значение в точке где принадлежит Рассмотрим функцию

где диаметр области На боковой поверхности цилиндра и на его нижнем основании

а

Следовательно, так же как и не принимает наибольшего значения ни на боковой поверхности ни на его нижнем основании. Пусть принимает наибольшее значение в точке где лежит внутри Тогда в этой точке вторые производные неположительны и если если же то откуда следует, что в точке

должно быть

С другой стороны,

что противоречит (4), и теорема доказана.

Из доказанной теоремы непосредственно вытекает, что:

1) Решение первой граничной задачи в цилиндре единственно. В самом деле, если бы мы имели два каких-либо решения задачи, то их разность удовлетворяя однородному уравнению (1), обращалась бы в нуль как при так и на поверхности области Но тогда, в силу теоремы о максимуме и минимуме, следует, что равна тождественно нулю в области при т. е.

2) Решение первой граничной задачи (1) — (2) непрерывно зависит от правых частей начального и граничного условий. Действительно, если разность функций, входящих соответственно в начальное и граничное условия, по абсолютной величине не превосходит некоторого положительного числа то и разность соответствующих решений, как решение однородного уравнения теплопроводности с малыми начальным и граничным значениями, во всем цилиндре по абсолютной величине также не будет превосходить