Глава VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ХАРАКТЕРИСТИК К ИЗУЧЕНИЮ КОЛЕБАНИЙ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЛИНИЯХ

§ 1. Дифференциальные уравнения свободных электрических колебаний

При прохождении по проводу электрического тока вокруг него образуется электромагнитное поле, которое вызывает изменения как силы тока, так и величины напряжения. Благодаря этим изменениям в проводе возникает определенный колебательный процесс, изучением которого мы и займемся.

Проведем ось вдоль оси провода, а начало координат поместим в один из его концов; длину провода обозначим через Сила тока I и напряжение в какой-нибудь точке провода будут функциями абсциссы х и времени Величины связаны между собой некоторыми дифференциальными уравнениями с

частными производными 1-го порядка. При выводе этих уравнений мы будем предполагать, что емкость, активное сопротивление, самоиндукция и утечка распределены вдоль провода непрерывно и равномерно, и что постоянные их характеризующие, рассчитаны на единицу длины провода.

Рассмотрим часть провода, заключенную между двумя сечениями Применяя закон Ома к этой части провода, будем иметь

Так как, с другой стороны,

то имеет место равенство

из которого, в силу произвольности следует, что

Количество электричества, протекающего через рассматриваемый участок провода за единицу времени

равно сумме количества электричества, необходимого для зарядки этого участка провода, и количества электричества, теряющегося вследствие несовершенства изоляции;

Таким образом,

откуда