§ 4. Распространение тепла в круглой трубе

Рассмотрим теперь задачу о распространении тепла в круглой трубе, если распределение температуры при в ней задано, а затем, при на ее внутренней и внешней стенках поддерживается температура Начальное распределение температуры будем считать неизменным по длине трубы, а теплоотдачей с ее торцов пренебрегать. При этих предположениях придем к задаче

где внутренний и наружный радиусы трубы, а заданная функция.

Исключим последовательно дифференциальные операции по и по

При исключении дифференциальных операций по мы находимся в точности при условиях задачи предыдущего параграфа. Применив в интервале интегральное преобразование с ядром (27), приведем задачу к виду

где функции определены формулами, аналогичными соответствующим формулам предыдущего параграфа.

Задача (38)-(40) отличается от задачи предыдущего параграфа (28)-(30) лишь граничным условием. Поэтому, отыскивая преобразование, позволяющее исключить дифференциальные операции по заключим, что ядро будет удовлетворять уравнению Бесселя:

граничные же условия, согласно (39), будут иметь вид:

Подчинив общее решение уравнения (41) условиям (42), получим:

Чтобы существовали решения, отличные от тривиального решения определитель

должен быть равен нулю, что для определения собственных чисел даст уравнение

Решив систему (43), найдем, что с точностью до произвольного множителя

Таким образом, можно принять

где нормирующий множитель. Используя уравнение (41) и уравнение для собственных чисел, найдем, что

Осуществив в интервале преобразование с ядром и весовой функцией приведем задачу (38)-(40)

к виду

где

Отсюда

Осуществив обратные преобразования, получим:

и

Этот двойной ряд и даст решение рассматриваемой задачи (35) — (37).

ЗАДАЧА

(см. скан)