§ 6. Стационарный поток тепла в параллелепипеде
Предположим, что грань 
Олга, прямоугольного параллелепипеда 
поддерживается при температуре 
тогда как с остальных граней происходит излучение в пространство с температурой, равной нулю. Поставим целью найти установившееся распределение температуры 
в таком параллелепипеде. При этом придем к задаче для уравнения Лапласа:
при граничных условиях
Исключим дифференциальные операции по 
Ядро К преобразования, исключающего операцию дифференцирования по 
должно быть решением граничной задачи
Подчинив общее решение 
уравнения (62) граничным условиям (63), получим систему однородных уравнений:
Решения этой системы, отличные от тривиального 
существуют только тогда, когда ее определитель равен нулю. Из этого условия, после элементарных преобразований, придем к следующему уравнению для определения собственных чисел Х:
При 
коэффициенты 
пропорциональны соответственно 
Таким образом, с точностью до постоянного множителя,
решения граничной задачи (62) -(63) имеют вид
Ядро прямого преобразования будет отличаться от (64) лишь нормирующим множителем 
где
Осуществив в интервале 
преобразование с найденным ядром, приведем задачу (60) -(61) к виду:
Совершенно аналогичным путем исключим дифференцирование и по координате 
после чего задача (65) -(66) примет вид:
где 
интегральное преобразование функции 
в интервале 
с ядром
где
а 
- корни уравнения
перенумерованные в порядке их возрастания.
Подчинив общее решение уравнения (67):
граничным условиям (68), для определения постоянных 
получим систему уравнений:
откуда
где
Осуществив обратные преобразования, получим решение исходной задачи (60) — (61) в форме двойного ряда
ЗАДАЧА
(см. скан)
