§ 2. Звуковое поле вибрирующего цилиндра
Предположим, что цилиндр радиуса 
совершает малые гармонические колебания (вибрации) с амплитудой 
в направлении, перпендикулярном его оси. Найдем возникающее при этом стационарное звуковое поле.
Как было показано в § 1, поле давления звуковой волны удовлетворяет уравнению Гельмгольца (6), так что математическая постановка рассматриваемой задачи заключается сейчас в установлении граничных условий. Введем цилиндрические координаты 
с осью 
направленной по оси цилиндра в тот момент, когда последний проходит положение равновесия. Плоскость отсчета углов 
совместим с плоскостью колебаний цилиндра. Если колебания цилиндра происходят со скоростью, не превосходящей скорости звука в среде, что мы будем предполагать, между средой и цилиндром не образуется пустот. Поэтому скорость движения среды в направлении, перпендикулярном к поверхности цилиндра, совпадает с радиальной скоростью движения этой последней:
Отсюда, приняв во внимание формулу (5), заключим, что граничное условие рассматриваемой задачи будет следующим:
Кроме того, на бесконечности должно выполняться условие излучения (62) гл. XXIV:
Для отыскания решения 
воспользуемся непосредственно результатами § 4 гл. XXIV, где мы нашли, что частные решения уравнения Гельмгольца могут быть представлены формулой (50):
Одно из них и будет решением нашей задачи.
В рассматриваемом случае зависимость от 
отсутствует, поэтому 
Далее, в силу граничного условия (8), зависимость от 
должна выражаться только с помощью множителя созф, что возможно лишь при 
Наконец, чтобы при 
удовлетворялось условие излучения, в качестве решения 
уравнения Бесселя следует выбрать функцию Ханкеля первого рода 
Таким образом, действительно, выбор решения из числа решений вида (50) гл. XXIV оказывается однозначным и мы получим
где 
постоянная, определяемая из граничного условия (8), которое даст
откуда
Если
где k — длина волны с круговой частотой 
т. е. длина звуковых волн намного больше периметра сечения цилиндра (проволока), то для вычисления А можно воспользоваться соотношениями (18) и (61) гл. XIII, в силу которых при 
и малых 
получим
где а — скорость звука в среде. Отсюда
и
Исследуем полученное решение на больших расстояниях от цилиндра, т. е. при
Воспользовавшись асимптотическим представлением (64) гл. XIII, получим
В силу (10):
Применив формулу (4) и заметив, что 
найдем составляющие вектора скорости среды на больших расстояниях от цилиндра — радиальную:
и тангенциальную:
Отбросив члены высшего порядка малости, получим
т. е. на больших расстояниях от цилиндра движение среды, в основном, радиальное, тангенциальные же составляющие скорости убывают на порядок быстрее (как 
чем радиальные.
Определим, наконец, интенсивность 
звукового поля — величину, представляющую наибольший практический интерес. В силу формул (7), (14) и (15) получим
или, для струны:
Таким образом, поток энергии в звуковом поле колеблющегося цилиндра убывает пропорционально первой степени расстояния.
Он весьма быстро падает с уменьшением поперечника цилиндра и частоты. В последнем обстоятельстве кроется одна из причин, по которым басовые струны музыкальных инструментов должны быть толстыми. В плоскости, перпендикулярной плоскости колебаний цилиндра, звуковое поле отсутствует (точнее оно обусловливается только быстро убывающей тангенциальной компонентой).
ЗАДАЧИ
(см. скан)
