§ 5. Потенциалы электромагнитного поля

Уравнения элекромагнитного поля в однородной изотропной среде можно привести к виду, при котором число уравнений, определяющих поле, меньше числа уравнений Максвелла. Одним из способов такого приведения является введение потенциалов поля.

Используя то обстоятельство, что поле вектора В магнитной индукции соленоидально, положим

Уравнение Максвелла (11) при этом выполняется тождественно. Вектор А называют векторным потенциалом электромагнитного поля. Подставив (28) в уравнение Максвелла (8), получим

откуда в предположении, что область пространства, занятая полем, односвязна, следует, что сумма является градиентом некоторого скаляра, который обозначим через —

Скаляр называют скалярным потенциалом.

Векторный потенциал определен с точностью до слагаемого, представляющего градиент произвольной функции координат и времени, преобразующийся при преобразовании координат как скаляр. В самом деле, так как где произвольный скаляр, то Ввиду (29) при замене потенциал должен быть заменен на Таким образом, векторный потенциал определен с точностью до

градиента, а скалярный — с точностью до производной по времени от произвольной функции координат и времени.

Возможность произвольного выбора этой функции позволяет не меняя физического смысла потенциалов выбрать их так, чтобы они удовлетворяли одному произвольному дополнительному условию. Например, скалярный потенциал можно принять равным нулю. В отличие от этого в общем случае нельзя положить поскольку это равенство представляет три условия, наложенные на компоненты вектора А.

Положив подставим (29) в уравнение Максвелла (10), что даст

или

Наконец, положив подставим найденные выше величины в уравнение Максвелла (9). Это даст

Заметив, что получим

Уравнения (30) и (31) и дают решение поставленной задачи. Векторы поля выражаются через потенциалы соотношениями, следующими из (29) и (28):

Уравнения (30) и (31), определяющие потенциалы, можно упростить, если воспользоваться указанной выше возможностью подчинить выбор потенциалов одному дополнительному условию и принять условие Лоренца:

Тогда уравнения (30) и (31) примут вид:

Соотношения (32), определяющие векторы поля, по-прежнему остаются в силе.

Уравнения (34)-(35) удобны при рассмотрении электромагнитного поля в диэлектрической среде, где либо равны нулю, либо представляют сторонние заданные величины В электропроводной среде в приближении закона Ома Взяв значение из (32) и подставив значение в (31), получим

Если теперь выбор потенциалов подчинить условию

то получим

Здесь правая часть задана. В отличие от этого, подставив в (30) значение из (36), получим

где правая часть неизвестна. Поэтому, если векторный потенциал удалось найти, то скалярный потенциал естественнее находить из (36). Заметим, что если после этого определить из (32), из уравнения то (38) удовлетворяется тождественно.