Глава XIV. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ НИТИ, ПОДВЕШЕННОЙ ЗА ОДИН КОНЕЦ

§ 1. Свободные колебания подвешенной нити

Рассмотрим тяжелую однородную гибкую нить длины Нить закреплена верхним концом в точке и совершает колебания под действием силы тяжести. Максимальное отклонение ее нижнего конца от вертикали равно За ось х примем вертикальное направление, вдоль которого расположится нить, когда под действием своего веса она займет прямолинейное положение. Обозначим через отклонение точек нити от положения равновесия в момент времени (рис. 22).

Будем рассматривать малые колебания такие, что можно пренебречь квадратом производной по сравнению с единицей. Тогда

где угол между касательной в точке с абсциссой к нити в момент времени и положительным направлением оси

Натяжение нити в точке с абсциссой х равно весу части нити, расположенной вниз от т. е. где линейная

плотность нити, a g - ускорение силы тяжести. Выделим произвольный элемент нити длиной который при равновесии занимал положение (см. рис. 22). Горизонтальная составляющая равнодействующей сил натяжения, действующих на концы элемента выражается разностью

которая с точностью до бесконечно малых высшего порядка равна выражению

Рис. 22

Вертикальная составляющая равна

так как в силу малости колебаний нити

Движение элемента нити можно рассматривать как свободное, если сохранить силы натяжения, действующие в точках и учесть силу тяжести, направленную вниз и имеющую величину Вертикальная составляющая равнодействующей сил натяжения и сила тяжести взаимно уничтожаются. Поэтому можно считать, что элемент нити движется под действием горизонтальной составляющей силы (1). Приравняв эту силу произведению из массы элемента нити на его ускорение получим искомое дифференциальное уравнение малых колебаний подвешенной нити

где

Задача о колебании подвешенной нити сводится к интегрированию уравнения (2) с граничным условием

и с начальными условиями

Имея в виду применить способ Фурье к решению задачи (2) — (4), сначала преобразуем уравнение (2) к новой переменной

положив

тогда преобразованное уравнение примет следующий вид:

Будем искать решение этого уравнения в виде

Подставляя (6) в (5), получим

Обозначая обе части этого равенства через постоянную получим два уравнения:

Общее решение уравнения (7) имеет вид (см. гл. XIII, § 1):

Так как при то должно быть Граничное условие (3) даст

В гл. XIII мы показали, что трансцендентное уравнение

имеет бесчисленное множество вещественных корней: Отсюда вытекает что собственные числа задачи определяются равенством

Собственные функции, соответствующие этим собственным числам, имеют следующий вид:

Обращаясь теперь к уравнению (8), мы видим, что его общее решение имеет вид

и, следовательно, ряд

даст решение уравнения (2) при граничном условии (3).

Теперь остается определить постоянные так, чтобы удовлетворялись и начальные условия (4). Положив в разложении найдем, что

Сравнивая это разложение с формулами (42) и (43) предыдущей главы, легко убедимся, что

Рассуждая аналогичным образом, найдем выражения и для коэффициентов а именно

Введя теперь обозначения

перепишем найденное нами решение (12) в форме:

откуда ясно, что малые колебания подвешенной нити можно рассматривать как движение, складывающееся из бесчисленного множества гармонических колебаний.

Период основного тона таких колебаний выражается формулой

где

Далее формула (16) показывает, что амплитуда обертона обращается в нуль в тех точках, которые определяются уравнением

откуда ясно, что мы будем иметь к узловых точек: