§ 2. Распространение тепла в полуограниченном стержне

Рассмотрим задачу о распространении тепла в полу ограниченном стержне, боковая поверхность которого теплоизолирована. Пусть конец поддерживается при заданной температуре, которая может изменяться с течением времени. Тогда задача сводится к решению уравнения

при граничном условии

и начальном условии

Решение задачи (16)-(18) будем искать в виде суммы

где суть решения следующих задач:

Решим сначала задачу Решение задачи (I) может быть получено из решения, найденного нами для неограниченного стержня. Действительно, перепишем формулу (10) в виде

Удовлетворяя граничному условию, будем иметь

Это условие наверное будет выполнено, если положить

т. е. функцию нужно продолжить нечетным образом в промежуток

Подставив (22) в (21), получим решение задачи (I) в виде

Если, например, начальная температура постоянна:

то (23)

Разбив интеграл на два слагаемых и введя новые переменные интегрирования

получим

или

где

— интеграл ошибок.

Переходим теперь к решению задачи II. Начнем с частного случая т. е.

Легко видеть, что функция

будет решением задачи для этого частного случая. Пусть теперь на конце температура поддерживалась до момента равной нулю, а затем равной единице. В этом случае решение обозначим через Очевидно, что до момента будет после же этого момента времени совпадает с решением (27), если там заменить на что дает нам

Но тогда очевидно, что если на конце температура, равная единице, поддерживалась только в течение промежутка времени а все остальное время она была равна нулю, то соответствующее распределение температуры вдоль стержня будет

Если же на конце в течение промежутка времени поддерживалась температура, равная а не единице, то

получим

откуда ясно, что если поддерживать на конце температуру при всех то при изменении от до мы получим полный эффект, сложив все элементарные эффекты, что дает нам искомое решение задачи в виде

или, так как при

то окончательно получим

Введем вместо новую переменную интегрирования по формуле

Тогда формула (28) запишется в виде

При мы получим

т. е. решение (28) удовлетворяет граничному условию (17).

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)