§ 4. Магнитная антенна над средой с конечной электропроводностью

Рассмотрим излучатель в форме круглой цилиндрической катушки с обмоткой из проводника, по которому течет ток. Такой излучатель с вертикально расположенной осью называют вертикальной магнитной антенной.

Будем считать, что основание рассматриваемой антенны расположено на плоской границе раздела однородного диэлектрика (атмосфера или верхняя среда) и проводника (земля или нижняя среда). Линии тока будем предполагать концентрическими окружностями, лежащими в плоскостях, параллельных поверхности раздела сред, с центрами, расположенными на оси катушки.

В соответствии с соображениями, изложенными в § 1, ввиду отсутствия в рассматриваемой антенне вертикальных токов, допустим, что вертикальная компонента векторного потенциала равна нулю. При этом предположении, в декартовых координатах с осями расположенными в плоскости горизонта, для отыскания поля магнитной антенны получим два уравнения:

Преобразуем эти уравнения к цилиндрическим координатам что даст нам возможность исключить еще одну компоненту векторного потенциала и привести задачу к решению одного скалярного уравнения. Ось системы направим по оси катушки, а начало расположим на поверхности раздела сред.

Легко видеть, что компоненты произвольного вектора а, выраженные в декартовой и цилиндрической системах координат, связаны соотношениями

откуда, приняв во внимание, что придем к формулам:

Их и используем для проведения преобразования. Умножив уравнение (33) на а уравнение (34) на и сложив их, с учетом первой из формул (35), получим

Далее найдем, что

С помощью выражения (52) гл. XVIII для дивергенции вектора также найдем, что в цилиндрических координатах

Объединяя найденные выражения и используя выражение для оператора Лапласа в цилиндрических координатах, получим соотношение

Раскрыв выражения с производными и приняв во внимание, что ввиду осевой симметрии поля рассматриваемой антенны

векторный потенциал от координаты не зависит, получим окончательно:

Аналогично, используя вторую из формул (35), получим второе уравнение:

Поскольку ток кольцевой, то и уравнение (36) удовлетворяется, если положить Мы можем поэтому попытаться искать решение, используя только уравнение (37). Если компонента будет найдена, то компоненты векторов поля смогут быть найдены из следующих соотношений:

которые вытекают, как читателя не затруднит проверить, из формул задачи 2 к § 1 и выражений для векторных операций в цилиндрических координатах. Мы не будем выписывать уравнений для обоих рассматриваемых сред раздельно, имея в виду, что в нижней среде справедливо то же уравнение (37), но без правой части и с соответственно измененным значением параметра

На границе раздела сред тангенциальные компоненты векторов поля должны быть непрерывны (§ 7, гл. XXIX), что, в силу соотношений (38), даст следующее граничное условие:

Как и ранее, здесь индексами отмечены величины, относящиеся к верхней среде, а индексами к нижней. На бесконечности должно быть выполнено условие излучения. Как и в предыдущих параграфах, будем предполагать, что внешняя среда обладает хотя бы ничтожной проводимостью. Это, как мы знаем, автоматически обеспечивает выполнение условия излучения, причем векторы поля экспоненциально убывают на бесконечности.

Перейдем к решению задачи. Исключим с помощью интегрального преобразования дифференциальные операции по координате Тем же путем, как и в § 2, найдем, что ядром соответствующего преобразования должна быть функция Вследствие этого следует воспользоваться преобразованием Ханкеля, выполнив

которое приведем граничную задачу (37)-(39) к виду:

где

Заметив, что уравнение (40) совпадает с уравнением (10), рассмотренным в § 2, его общее решение запишем в той же форме:

где — произвольные постоянные, а через обозначен корень из с положительной вещественной частью. Решение (43), вообще говоря, справедливо и для верхней и для нижней среды, но, конечно, при различных значениях постоянных и величин, зависящих от характеристик среды. Чтобы обеспечить обращение в нуль функции при для внешней среды следует положить

а для нижней, ввиду отсутствия в ней сторонних токов, положить

Учитывая граничные условия (41), для определения постоянных получим систему уравнений:

откуда

Перейдем к вычислению Плотность тока, текущего в катушке антенны, будем считать не зависящей от и равной

(равномерное распределение тока). Тогда

где — координата верхней плоскости обмотки катушки, а внутренний и внешний радиусы обмотки.

Пренебрежем толщиной катушки, устремив но сохраним текущий через катушку полный ток неизменным, считая плотность возрастающей так, что произведение сохраняет неизменное значение. Применив теорему о среднем, при этом получим:

Величину можно считать здесь плотностью кругового поверхностного тока, текущего по цилиндру Отсюда, в силу равенства (45),

Отметим также, что для входящие в соотношение (43) интегралы имеют значения:

Устремляя к нулю и одновременно увеличивая так, чтобы произведение оставалось неизменным, перейдем к случаю витка радиуса по которому течет ток силой При этом получим:

Из соотношений и (44) для круглого витка получим

Перейдем, наконец, к случаю магнитного диполя, для чего устремим радиус витка к нулю, одновременно увеличивая так,

чтобы магнитный момент витка сохранял неизменное значение. Принимая во внимание, что, в силу разложения (14) гл. XIII, при функция поручим:

Пользуясь обратным преобразованием Ханкеля (85) гл. XXXIII, найдем выражение для компоненты векторного потенциала поля магнитного диполя в форме:

Эти выражения формально и решают задачу о поле магнитного диполя, расположенного на границе проводящей среды. Мы придадим им, однако, другой вид и покажем, что для некоторых случаев поле диполя может быть выражено через элементарные функции.

Приняв во внимание, что в силу формулы (22) гл. и проинтегрировав соотношения (49) и (50) по получим:

где

Учитывая, что магнитная проницаемость большинства реальных сред очень близка к единице, будем далее считать, что

При этом условии, умножив числитель и знаменатель подынтегрального выражения интеграла (52) на

получим:

Воспользуемся уже встречавшейся нам выше формулой 00

Дифференцируя ее дважды по х, получим

в силу чего вышенаписанное выражение можно записать в виде

Можно показать, что при последний интеграл стремится к нулю. Мы опустим здесь это простое, но длинное доказательство. При тех же условиях, в силу тождества

получим:

Произведя соответствующие преобразования в соотношении (54), придем к формуле Ван-дер-Поля:

позволяющей определить поле на поверхности раздела сред (поверхности земли).

ЗАДАЧИ

(см. скан)