Глава XV. МАЛЫЕ РАДИАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГАЗА

§ 1. Радиальные колебания газа в сфере

Предположим, что газ заключен в твердую непроницаемую оболочку сферической формы; поставим задачу исследовать малые колебания газа около его положения равновесия.

В гл. I было показано, что потенциал скоростей газа удовлетворяет волновому уравнению

В этом параграфе рассмотрим так называемые радиальные колебания газа, которые образуются в том случае, когда начальные условия выражаются равенствами

где - расстояние от колеблющейся частицы газа до центра шара.

Так как поверхность шара представляет собой твердую неподвижную оболочку, то нормальная составляющая скорости равна нулю, что приводит к граничному условию

где R - радиус сферической оболочки.

Поскольку в случае радиальных колебаний потенциал скоростей и зависит только от то, воспользовавшись выражением для оператора Лапласа в сферических координатах (гл. XVIII, § 7), уравнение (1) можно написать в таком виде:

Таким образом, задача сводится к решению уравнения (4) при начальных условиях (2) и граничном условии (3). Будем искать частные решения уравнения (4) в виде

Подставив это в (4), получим

Обозначив обе части этого равенства через получим два уравнения:

Чтобы функция (5), отличная от тождественного нуля, удовлетворяла граничному условию (3), очевидно, нужно потребовать выполнения условия

Общее решение уравнения (7) имеет вид

где произвольные постоянные.

Так как по самому смыслу задачи искомое решение и должно оставаться ограниченным во всех точках внутри сферы, в том числе и в центре, т. е. при то в решении (9) мы должны положить Не ограничивая общности, можно считать Таким образом,

Подставив (10) в граничное условие (8), получим уравнение

для определения собственных чисел уравнения (7) при граничном условии (8) и Если положить

то уравнение (11) можно записать в виде

Для нахождения вещественных корней этого уравнения построим графики функций

Рис. 23

Очевидно, что абсциссы точек пересечения этих кривых и дадут искомые корни (рис. 23). Из чертежа видно, что корни уравнения (13) с увеличением индекса неограниченно возрастают по абсолютной величине, причем разность стремится к нулю. Отсюда следует, что при достаточно большом к

можно положить

Что касается первых корней, то их можно вычислить следующим способом. Положим

Подставив в уравнение (13), получим

Возьмем теперь в разложении

два первых члена; тогда уравнение (16) запишется в виде

Применив к последнему уравнению метод итерации, найдем приближенное значение а следовательно, по формуле (15), приближенное значение корней

Так, например, с точностью до четвертого знака

Обозначим через положительные корни уравнения (13). Тогда, согласно (12), собственные числа будут

Каждому собственному числу соответствует собственная функция

Отметим, что также собственное число задачи (7), (8), которому соответствует собственная функция При общее решение уравнения (6) имеет вид

где произвольные постоянные.

При имеем

В силу (5) получим, что функции

удовлетворяют уравнению (4) и граничному условию (3) при любых Далее, составим ряд

Для выполнения начальных условий (2) необходимо, чтобы

Предполагая, что ряд (21) сходится равномерно, мы можем определить коэффициенты умножив обе части равенства (21) на и проинтегрировав по в интервале от до тогда получим

Докажем, что

В самом деле, интегрируя по частям, получим

откуда, в силу уравнения (13), и следует равенство (24). Далее, из формулы

следует, что

но так как суть корни уравнения (13), то

т. е. функции ортогональны в интервале Если же то

а так как

то

Приняв во внимание (24), (25) и (26), из равенства (23) найдем, что

Чтобы определить коэффициент умножим обе части равенства (21) на и проинтегрируем по в интервале от до тогда получим

Интеграл, стоящий здесь под знаком суммы, равен нулю, что следует из (24). Следовательно,

Аналогично найдем

Таким образом, все постоянные, входящие в решение (20), найдены. Заметим теперь, что в этом решении член

может быть отброшен. В самом деле, для определения процесса движения газа нам надо прежде всего определить скорость с которой колеблются его частицы. Составляющие этой скорости на координатные оси вычисляются на основании формул

где потенциал и выражается рядом (20). Но слагаемое (31), входящее в этот ряд, не зависит от поэтому картина распределения скоростей в колеблющемся газе не изменится, если в ряде (20) отбросить член (31). Положим теперь

тогда выражение (20) для потенциала скоростей может быть переписано следующим образом:

Эта формула показывает, что общее радиальное колебание газа можно рассматривать как состоящее из бесчисленного множества собственных гармонических колебаний, совершающихся с периодом

Первый член ряда (32) дает основной тон радиальных колебаний газа, его период определяется формулой

где — наименьший положительный корень уравнения (13).