§ 7. Представление некоторых дифференциальных выражений в ортогональных системах координат

В ряд интегральных формул математической физики входят дифференциальные выражения, которые выше мы записывали в ортогональных декартовых координатах. Например, в формуле

Остроградского-Гаусса (1) и формуле Грина (7) мы встречались с выражениями:

Часто встречается также формула Стокса, которую приведем здесь без вывода:

где — кусочно-гладкая двусторонняя поверхность (в пространстве) с кусочно-гладкой границей а функции выражаются через заданные функции формулами:

Здесь — направляющие косинусы соответственно нормали к поверхности и касательной к ее границе Положительное направление нормалей на 5 можег быть выбрано произвольно, при этом в контурном интеграле граница должна обходиться против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора какой-либо нормали к 5. Функции предполагаются определенными в области содержащей поверхность внутри себя, и непрерывными вместе со своими производными первого порядка. Эти функции могут быть приняты за компоненты некоторого вектора А. При этом функция может рассматриваться как проекция на нормаль вектора с компонентами

представляющего вихрь вектора А (т. е. В = rot А).

Поставим целью найти вид дифференциальных выражений в произвольных ортогональных системах координат.

Напомним определение ортогональных координат. При этом рассмотрим только координаты в пространстве, предоставив рассмотрение координат в двумерных областях читателю.

Положим, что точка х определяется заданием трех параметров

или

Если эти три функции, определяющие координаты точки х через параметры однозначны, то каждой совокупности значений соответствует одна определенная точка х. Предположим, что функции (46) не только однозначны, но имеют непрерывные частные производные, и рассмотрим систему уравнений относительно дифференциалов Определитель этой системы, составленный из частных производных называют

якобиевым или функциональным определителем системы функций (46). Якобиев определитель системы (46), очевидно, является функцией параметров

В теории дифференциальных уравнений доказывается следующее предложение: если в некоторой окрестности значений параметров которым соответствует точка с координатами якобиев определитель системы (46) не обращается в нуль, то в некоторой окрестности X точки система (46) допускает однозначное обращение:

причем функции имеют в окрестности X непрерывные первые производные по а в точке принимают значения

Таким образом, при рассматриваемом условии, каждой точке соответствует определенная совокупность параметров которая при подстановке в уравнения (46) дает декартовы координаты точки х. Иначе говоря, существует взаимно однозначное соответствие между точками х и тройками параметров которые, в силу существования такого соответствия, и можно рассматривать как координаты точки х. Если хотя бы одно из уравнений (46) нелинейно относительно то эти координаты называют криволинейными, так как им соответствует криволинейная координатная сеть.

Обычно применяют криволинейные координаты, взаимно однозначно сопоставленные всем точкам изучаемой области, за исключением, быть может, некоторых точек или линий, где якобиев определитель системы функций (46) обращается в нуль. Эти точки

(или линии) называют особыми точками (линиями) соответствующих координат.

Поверхности, на которых одна из криволинейных координат сохраняет постоянное значение, называют координатными. О поверхности, на которой постоянна координата будем говорить как о поверхности совокупность поверхностей образует систему поверхностей По числу координат есть три системы поверхностей: Пересечение координатных поверхностей образует координатные линии, совокупность которых дает координатную сеть. Вдоль координатных линий меняется только одна из координат. По числу координат координатные линии также делятся на три системы. Вдоль линии системы меняется только координата ту. Три пары координатных поверхностей, в которые входят по две поверхности каждой системы, образуют криволинейный координатный параллелепипед, его ребра представляют части координатных линий.

Если любые две координатные поверхности разных систем пересекаются под прямым углом, то криволинейные координаты называют ортогональными. Очевидно, что в этом случае и координатные линии также пересекаются под прямыми углами.

Рассмотрим смещение некоторой точки х вдоль проходящей через нее координатной линии ту на расстояние, соответствующее приращению криволинейной координаты на Из системы (47) вытекает, что декартовы координаты точки х получат при этом приращения:

Следовательно, направляющие косинусы касательной к линии в точке х пропорциональны частным производным Отсюда придем к следующему условию ортогональности:

Величина смещения, соответствующего приращению криволинейной координаты на равна

где

Величины называют координатными параметрами Ламе.

Объем бесконечно-малого криволинейного координатного параллелепипеда, очевидно, равен

Произведение параметров Ламе с точностью до знака равно якобиеву определителю преобразователя. Чтобы убедиться в этом, достаточно возвести якобиев определитель в квадрат, используя правило умножения «столбец на столбец». При этом, в силу соотношений ортогональности, получим

Таким образом, в особых точках координат хотя бы один из параметров Ламе обращается в нуль.

Ниже мы будем пользоваться только двумя типами криволинейных координат: цилиндрическими и сферическими.

Цилиндрические координаты точки х определяются системой уравнений:

Координатные параметры Ламе имеют значения:

Координатные поверхности образуют систему круговых цилиндрических поверхностей радиуса с общей осью, совпадающей с осью 3 декартовых координат и называемой осью цилиндрических координат; координатные поверхности образуют систему полуплоскостей, для которых ось цилиндрических координат является границей; координатные поверхности образуют систему плоскостей, перпендикулярных оси цилиндрических координат. Координата представляет расстояние точки от оси 3 декартовых координат (или, что то же, от оси цилиндрических координат), угол между координатной полуплоскостью, проходящей через точку х и координатной полуплоскостью, в которой лежит ось 1 декартовых координат, совпадает с декартовой координатой

Через каждую точку х, не лежащую на оси цилиндрических координат, проходит по одной координатной поверхности На оси цилиндрических координат параметр следовательно, она является особой. На этой оси координата не имеет определенного значения.

Сферические координаты точки х определяются системой уравнений:

Координатные параметры Ламе имеют значения:

Координатные поверхности образуют систему сферических поверхностей с общим центром в точке называемой началом сферических координат; координатные поверхности 9 образуют систему круговых конусов с общей осью, совпадающей с осью 3 декартовых координат, эту ось называют полярной; координатные поверхности образуют систему полуплоскостей, проходящих через полярную ось Координата представляет длину радиуса вектора точки — угол между радиусом-вектором и полярной осью, угол между координатной полуплоскостью, проходящей через точку и координатной полуплоскостью, в которой лежит ось 1 декартовых координат.

Рис. 28

Через каждую точку не лежащую на полярной оси, проходит по одной координатной поверхности На полярной оси параметр следовательно, она является особой. На этой оси координата не имеет определенного значения В особой точке не определена также и координата 0.

Перейдем теперь к вычислению интересующих нас дифференциальных выражений в ортогональных координатах.

Будем исходить из формулы Остроградского-Гаусса (1), приняв в ней за функции компоненты некоторого вектора А, а за область V — криволинейный координатный параллелепипед, образованный шестью координатными поверхностями: (рис. 28). Длины ребер этого параллелепипеда равны

Разбив интеграл по поверхности параллелепипеда на сумму интегралов по его граням, получим

где грани, образованные координатными поверхностями та и проекции вектора А на нормали к соответствующим граням. Заметив, что на одних гранях параллелепипеда направление внешней нормали совпадает с направлением нормальной к грани координатной линии, а на

противолежащих им гранях оно противоположно, с помощью теоремы о среднем найдем, что

где - объем параллелепипеда, площади граней параллелепипеда, а значения функций в правых частях этих соотношений берутся в некоторых внутренних точках соответствующих областей интегрирования.

С точностью до малых высшего порядка можно положить

Подставив найденные выражения в формулу Остроградского—Гаусса, получим

Подставив сюда значения

и перейдя к пределу при V 0, придем к искомой формуле:

Положив

и заметив, что

получим также формулу

Применим теперь интегральную формулу Стокса к одной из граней рассматриваемого нами параллелепипеда, например, для определенности, к грани, образованной координатной поверхностью (см. рис. 28). Разбив интеграл по контуру грани на сумму интегралов по ее ребрам, применив теорему о среднем и приняв во внимание соотношения (50), получим

где проекция вектора В на направление В этом соотношении принято, что нормаль к контуру направлена в сторону возрастания координаты Соответствующее направление обхода контура показано на рис. 29.

Рис. 29

Подставим значение площади из соотношений (51), что даст

Отсюда, с помощью круговой перестановки индексов, найдем, что вообще:

Спроектировав вектор В с компонентами, определенными этими формулами, на произвольное направление и приравняв полученное выражение и выражение (45), придем к формуле

ЗАДАЧИ

(см. скан)