§ 3. Звуковое поле пульсирующего шара. Точечный источник

Рассмотрим гармонически пульсирующий шар, т. е. шар, радиус которого гармонически колеблется. Пусть средний радиус шара, 6 — амплитуда колебаний, а со — их круговая частота.

Поле давления вне шара, как мы знаем должно удовлетворять уравнению Гельмгольца (1). Если колебания шара происходят с дозвуковой скоростью, то граничное условие состоит в равенстве радиальных скоростей поверхности шара и примыкающей к ней среды (подробнее см. § 2). Введя сферические координаты с началом в центре шара, в силу формулы (5) это граничное условие можно записать в форме

Кроме того, чтобы исключить из рассмотрения волны, сходящиеся из бесконечности к шару, потребуем, чтобы выполнялось условие излучения (62) гл. XXIV:

Решение поставленной задачи непосредственно заключено в одном из частных решений уравнения Гельмгольца в сферических координатах (56) гл. XXIV:

Чтобы при решение не зависело ни от ни от очевидно, должно быть Далее, чтобы удовлетворить условию излучения, в качестве цилиндрической функции следует выбрать

функцию Ханкеля первого рода. Это из всей совокупности рассматриваемых решений выделит решение

где постоянная. Это решение единственно в силу теоремы единственности для уравнения Гельмгольца (гл. XXIV, § 8).

Приняв во внимание, что (гл. XIII, § 6) запишем полученное решение в форме

Дифференцируя это выражение, подставляя и сравнивая результат с выражением (18), найдем, что

следовательно,

Величина представляет амплитуду пульсаций объема шара. Поэтому величина

представляет амплитуду объемной скорости пульсации. Ее называют производительностью шарового источника звука. Подставив в формулу (22), получим

Наконец, предположим, что радиус шара пренебрежимо мал по сравнению с длиной X излучаемой волны, т. е. что

В этом особенно важном случае пульсирующий шар по свойствам приближается к идеализированному излучателю — точечному источнику, поле давления которого, как ясно из формулы (24), определяется соотношением

В силу формулы (4), скорость движения среды на больших расстояниях от точечного источника

Начонец, интенсивность звукового поля точечного источника

Таким образом, поток энергии в поле точечного источника (и в поле малого пульсирующего шара) падает на большом удалении от источника пропорционально квадрату расстояния.

Важность понятия точечного источника состоит в том, что объемный источник звука может быть заменен эквивалентной системой распределенных точечных источников с производительностью после чего поле давления может быть найдено с помощью формулы, очевидным образом следующей из формулы (25):

где V — объем, занятый источником, расстояние от точки х, в которой определяется поле, до точки принадлежащей элементу объема Эта формула дает представление поля давления с помощью объемного колебательного потенциала. Сдвиг фазы колебаний точечных источников легко может быть учтен введением комплексных значенией для

ЗАДАЧА

(см. скан)