§ 6. Интегральные формулы

В § 2 и 5 мы видели, что функция

где радиус-вектор сферической системы координат, является решением уравнения Гельмгольца. Под в выражении (77), очевидно, можно понимать и расстояние от переменной точки до произвольной фиксированной точки х. При этом выражение (77) для всех является решением уравнения Гельмгольца записанного в произвольных координатах. Ввиду симметрии выражения (77) относительно координат точек оно будет удовлетворять и уравнению в котором дифференцирование производится по координатам точки х.

Функцию

где решение уравнения Гельмгольца регулярное в некоторой области будем называть фундаментальным решением этого уравнения в области

При порядок обращения в бесконечность фундаментальных решений уравнений Гельмгольца и Лапласа одинаков. Вследствие этого фундаментальные решения уравнения Гельмгольца удовлетворяют ряду тех же интегральных соотношений, что и уравнения Лапласа. Мы будем приводить эти соотношения без доказательств, которые почти дословно совпали бы с проведенными в гл. XIX и XX. Опираясь на формулу Грина (7) гл. XVIII, путем предельного перехода придем к

соотношению

где — трехмерное пространство, V — ограниченная область, а регулярное решение уравнения Гельмгольца, непрерывное в области V вместе со своими первыми производными. Эта формула аналогична формуле (44) гл. XIX.

Предположим теперь, что функция и является регулярным решением уравнения Гельмгольца в бесконечной области V и удовлетворяет на бесконечности условию излучения (62). Пусть конечная часть области V, содержащаяся внутри некоторого шара а. Применим в области формулу (79), положив в ней Это даст:

Интеграл по может быть записан в виде суммы:

Так как функция и удовлетворяет условию излучения, то при неограниченном возрастании радиуса поверхности оба члена этой суммы стремятся к нулю. Рассмотрим, например, второй из них. Приняв во внимание, что в силу условия излучения убедимся, что

где наибольшее абсолютное значение на Поскольку интеграл ограничен, то при неограниченном возрастании радиуса поверхности правая часть этого неравенства стремится к нулю по условию излучения. Доказательство стремления к нулю первого члена суммы аналогично. Таким образом, перейдя в соотношении (80) к пределу при

неограниченном возрастании радиуса поверхности получим

Опираясь на эту формулу, покажем, что регулярные решения уравнения Гельмгольца, удовлетворяющие условию излучения, убывают на бесконечности не медленнее, чем Для этого примем за §V шаровую поверхность с центром в произвольно выбранной точке Радиус поверхности §V выберем настолько большим, чтобы в бесконечной области V, имеющей поверхность §V своей границей, функция и была всюду определена и являлась регулярным решением уравнения Гельмгольца. Пусть расстояние между точками расстояние между точкой и переменной точкой а угол между отрезками и

Тогда, при

где через обозначена совокупность бесконечно малых членов. Пользуясь этим выражением, запишем формулу (81) в виде

Заметив, что интеграл в правой части, взятый по ограниченной поверхности , заведомо ограничен, и что величины одного порядка, придем к следующей оценке, справедливой при больших значениях

где множитель одного порядка Эта формула и доказывает высказанное утверждение.

Теперь формула (81) может быть обобщена на случай произвольного фундаментального решения В самом деле, при выводе этой формулы мы опирались на то, что фундаментальное решение — убывает на бесконечности, как Но, по доказанному, этим свойством должно обладать и любое фундаментальное решение. Вследствие этого, для бесконечной области получим формулу, совпадающую с формулой (79).

Наконец, предположим, что решение уравнения Гельмгольца, регулярное во всем пространстве и удовлетворяющее на

бесконечности условию излучения. Пусть произвольная точка и - шар радиуса с центром в точке х. Выразим с помощью формулы (79) значение функции и в точке х через ее значения на поверхности шара а. Заметив, что на поверхности шара получим

Интеграл в правой части при стремится к нулю, а так как значение не зависит от то

Ввиду произвольности выбора точки х отсюда следует, что решение уравнения Гельмгольца, регулярное во всем пространстве и удовлетворяющее условию излучения, тождественно равно нулю. На языке физики это значит, что в отсутствии источников излучения (точки, в которых решение нерегулярно) существование стационарной системы волн, расходящихся на бесконечности, невозможно.

По аналогии с ньютоновскими потенциалами образуем далее функции

которые будем называть колебательными потенциалами, соответственно объемным, простого слоя и двойного слоя. Так как множители не изменяют условий сходимости интегралов в точках все аналитические свойства ньютоновских потенциалов переносятся и на колебательные потенциалы. Перечислим основные свойства этих последних.

Объемный колебательный потенциал ограниченной интегрируемой плотностью непрерывен во всем пространстве; его первые производные можно вычислять дифференцированием под знаком интеграла, причем, если плотность равномерно ограничена, то первые производные непрерывны во всем пространстве; в точках, в которых плотность дифференцируема, вторые производные потенциала существуют и удовлетворяют неоднородному уравнению Гельмгольца:

Колебательный потенциал простого слоя (84) непрерывен во всем пространстве; в точках, не принадлежащих слою, он дифференцируем неограниченное число раз и удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца в точках слоя его нормальные производные удовлетворяют соотношениям

где предельные значения нормальной производной при приближении к точке соответственно извне и изнутри поверхности , а

— прямое значение нормальной производной в точке слоя.

Колебательный потенциал двойного слоя (85) в точках вне слоя дифференцируем неограниченное число раз и удовлетворяет уравнению Гельмгольца в точках слоя он удовлетворяет соотношениям

где предельные значения потенциала при приближении к точке соответственно извне и изнутри прямое значение потенциала в точке

Граничные задачи для уравнения Гельмгольца, как и задачи для уравнений Лапласа и Пуассона, допускают построение функций Грина, с помощью которых решение задачи может быть записано в интегральной форме. Непосредственно эти функции Грина описывают поля, созданные точечными источниками.

Рассмотрим для примера соотношения, определяющие функцию Грина задачи Дирихле:

Определим функцию входящую в общее выражение фундаментального решения (78), как решение граничной задачи:

В этом случае фундаментальное решение (78) обратится в нуль на границе рассматриваемой области и формула (79), с учетом граничного условия задачи (88), даст:

где

Фундаментальное решение и представляет функцию Грина задачи (88). Можно показать, что функция Грина существует, если решение задачи (88) единственно. В противном случае все же можно построить функцию которую называют обобщенной функцией Грина, такую, что формула (89) будет справедлива. Более подробно об этом сказано в Дополнении к ч. II.

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)