Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯГлава XXIX. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ§ 1. Векторные поляЭтот параграф имеет целью систематизировать и дополнить известные читателю из курса анализа сведения о векторном исчислении. 1. Физическое пространство в математической физике рассматривается как некоторый данный неизменный объект, характеризуемый евклидовой геометрией. В таком пространстве всегда может быть введена ортогональная декартова система координат, которая каждой точке пространства сопоставляет три числа — координаты этой точки, представляющие расстояния этой точки от соответствующих координатных плоскостей. Ниже будут рассматриваться только координатные системы, обладающие этими свойствами. Если одна из них задана, то любая другая может быть получена с помощью: а) движения, т. е. переноса начала и поворота системы координат и б) отражения (в координатной плоскости), как будем называть преобразование, состоящее в изменении направления одной из осей координат. При отражении правая система координат переходит в левую и наоборот. Эти два типа преобразований, т. е. движение и отражение, содержатся в изометрическом преобразовании:
где
Из этих условий следует, что определитель преобразования Свойства физической среды, очевидно, не могут зависеть от выбора той или иной системы координат. Между тем, в общем случае, в зависимости от выбора системы координат они выражаются различными функциями координат. Для того, чтобы эти функции определяли одно и то же физическое свойство, они должны при преобразованиях координат также преобразовываться по определенному закону. Пусть, например, некоторая физическая величина в каждой фиксированной точке пространства характеризуется числом (плотность, заряд, температура, концентрация и т. п.). При данном фиксированном выборе системы координат такая величина представляет некоторую принимающую числовые значения функцию
Функцию, которая при преобразовании координат преобразуется по закону, выраженному этим соотношением, называют скаляром. Область пространства, в каждой точке которой задан скаляр, называют скалярным полем. Не все физические величины могут быть представлены одной числовой функцией. В частности, это относится к двум важным группам величин. К одной из них принадлежат такие величины, как ускорение, скорость, линейное перемещение, сила и т. п., которые в каждой точке пространства характеризуются не только численным значением, но и направлением в пространстве. Эти величины за малый промежуток времени всегда проявляются как линейное перемещение и могут быть измерены как линейное перемещение (скорость — перемещение за единицу времени, сила — причина, вызывающая линейное перемещение, она может быть измерена перемещением соответствующего пробного тела и т. д.). К другой группе принадлежат такие величины, как угловое ускорение, угловая скорость, момент сил и т. п. Эти величины за малый промежуток времени всегда проявляются как угловое перемещение (поворот) и могут быть измерены угловым перемещением. Величины этой группы кроме численной величины характеризуются плоскостью поворота и направлением поворота в этой плоскости. Величины первой группы могут быть изображены направленным отрезком («стрелкой»), длина которого в определенном масштабе соответствует численному значению величины, а направление — направлению, характеризующему данную величину. Чтобы аналитически задать отрезок, соответствующий некоторой физической величине, можно использовать ту же систему координат, что и для описания физического пространства. Именно, зададим направленный отрезок его проекциями на координатные оси. Тем самым физические величины первой группы в данной фиксированной системе координат аналитически будут заданы тремя функциями координат, принимающими числовые значения, равные взятым с соответствующим знаком длинам проекций изображающего отрезка. Эти три функции назовем компонентами физической величины в данной системе координат. Как именно преобразуются компоненты при преобразовании координат, вытекает из свойств рассматриваемых физических величин. Именно, они должны преобразоваться по тому же закону, как проекции линейных перемещений, т. е. как разность координат двух точек. В свою очередь при поворотах и изменении направления осей разности координат преобразуются по тому же закону, как координаты, и не меняются при переносе начала координат. Пусть, например,
Совокупность трех функций координат, которые при преобразованиях координат преобразуются по закону, выраженному этими соотношениями, т. е. как разности координат, называют полярным вектором или просто вектором. Функции, образующие вектор, называют его компонентами. Обратимся к величинам второй группы. Аналогично тому, как величины первой группы в данной точке пространства могли быть изображены отрезком, величины второй группы могут быть изображены отнесенной к данной точке пространства плоской площадкой, ограниченной выпуклым контуром с заданным направлением обхода. Площадка предполагается ориентированной параллельно плоскости характеризующего величину углового перемещения, направление обхода контура — выбранным соответственно направлению углового перемещения, а площадь площадки — равной абсолютному численному значению величины. Спроектируем площадку на координатную плоскость, образованную осями 2, 3 системы координат. Направление обхода контура площадки определяет направление обхода контура проекции. Будем говорить, что это направление положительно, если оно соответствует направлению поворота от оси Из определения компонент физической величины второй группы следует, что при изменении направления осей системы координат, они преобразуются следующим образом: При изменении направления одноименной оси компонента не изменяется, так как знак компоненты определяется расположением неодноименных ей осей. При изменении направления одной из неодноименных осей знак компоненты меняется. Заметим, что компоненты вектора преобразуются иначе: они меняют знак при изменении направления одноименной оси и не зависят от направления неодноименных осей. Что же касается поворотов и переноса начала системы координат, то при этих преобразованиях компоненты величин второй группы преобразуются по тому же закону, что и компоненты векторов. Совокупность трех функций координат, которые при движениях преобразуются как компоненты векторов, а при отражениях — по указанному выше правилу, называют аксиальным или осевым вектором, употребительно также название псевдовектор. Функции, образующие осевой вектор, называют его компонентами. Легко видеть, что направленный отрезок, проекции которого на оси координат равны компонентам аксиального вектора, перпендикулярен площадке, изображающей аксиальный вектор. Направление отрезка совпадает с направлением поступательного перемещения правого винта, который вращают в направлении обхода контура площадки, если система координат правая, и в противоположном направлении, если система координат левая. Длина отрезка равна площади площадки. Практически для графического изображения аксиального вектора обычно пользуются таким отрезком («стрелкой»), что позволяет полярные и аксиальные векторы изображать одинаковым образом. Этот способ вполне оправдан, если при описании физических явлений используются только системы координат, которые можно совместить движением, т. е. системы координат одной ориентации, правые или левые. При преобразованных же, включающих отражение, отрезок приходится заменять другим отрезком, соответственно правилу преобразования компонент аксиального вектора. Сходство полярных и аксиальных векторов в особенности проявляется в общности алгебраических и дифференциальных операций с ними. Различие природы этих векторов сказывается только в одном случае: сложение полярного и аксиального вектора представляет операцию, не имеющую смысла. Практически, когда это не может повести к недоразумениям, определения «полярный» и «аксиальный» всегда опускают, говоря просто о векторах. Область пространства, в каждой точке которой задан полярный или аксиальный вектор, называют векторным полем. Существует простое правило, позволяющее отличить полярные и аксиальные векторы. Изучаемое физическое явление надо зеркально отразить в плоскости, нормальной рассматриваемому вектору. Если направление, в котором протекает явление, при отражении изменяется на обратное, то характеризующая его физическая величина — полярный вектор. В противном случае явление характеризуется аксиальным вектором. Скаляры и векторы представляют величины, с помощью которых осуществляется инвариантное, т. е. не зависящее от выбора системы координат, описание физических явлений. В этом состоит значение этих величин в физике. Скаляры и векторы являются частным случаем тензоров — величин, широко используемых в физике, но рассмотрение которых выходит за рамки этой книги. 2. Примем в дальнейшем следующие обозначения. Векторы будем обозначать буквами латинского алфавита, набранными жирным шрифтом, компоненты векторов-—теми же, но набранными курсивом буквами с соответствующими индексами. Например, В отношении всех векторов, которые будут рассматриваться в этом параграфе, будем предполагать, что они заданы в каждой точке некоторой области, т. е. образуют векторное поле. Определение вектора, данное в п. 1, без труда обобщается на случай любых криволинейных координат. Однако для простоты в этом параграфе будем предполагать, что компоненты векторов заданы в ортогональной декартовой системе координат. В этом случае уравнения векторных линий поля, т. е. линий, касающихся в каждой точке векторов а поля, имеют вид
где компоненты 3. Введем символику, удобную при выкладках с векторами. Примем обозначение суммирования, предложенное Эйнштейном: если в некотором одночленном выражении один и тот же индекс встречается дважды, то это выражение понимается как сумма выражений того же вида по всем значениям, которые может иметь указанный индекс. Например, вместо
Легко видеть, что
Введем далее символ
Напомним, что четными являются перестановки перестановка индексов не меняет четности перестановки. Следовательно,
Легко проверить, что (по греческим индексам суммирование!)
4. Перейдем к определению основных действий с векторами. Суммой а Для векторов определены три операции, называемые умножением. Скалярное произведение
Принято обозначение Произведение Векторное произведение
Например, Смешанное произведение а
Так как значение
Операцию дифференцирования по координате
— также дифференциальный оператор (скалярный). Его применение к вектору
называемый градиентом вектора Сочетание оператора V с тремя операциями умножения дает три оператора:
Первый из них (градиент) соответствует умножению V на скаляр (псевдоскаляр), второй (дивергенция) — скалярному умножению V на вектор, третий (ротор или вихрь) — векторному умножению V на вектор. Применив эти операторы к скаляру а) вектор
называемый градиентом скаляра б) скаляр (псевдоскаляр)
называемый дивергенцией или расхождением вектора а, в) вектор с компонентами
называемый ротором или вихрем вектора а. В каких случаях определенные выше векторы являются полярными, а в каких — аксиальными, легко разобраться по аналогии с произведениями векторов. Дивергенция и вихрь вектора характеризуют поведение векторного поля в малом. Пусть, для наглядности, а — вектор скорости установившегося течения жидкости. Рассмотрим бесконечно малый элемент объема жидкости, увлекаемый ее током. Тогда значения 5. Выведем теперь ряд более сложных соотношений, содержащих оператор V
Выпишем полученные соотношения в виде таблицы, используя буквенные обозначения операций:
6. Рассмотрим далее некоторые интегральные формулы. Формула Гаусса — Остроградского (1) гл. XVIII в векторных обозначениях имеет вид:
где Вообще, если
называют потоком вектора а сквозь Если в объеме Об областях, где Формула Стокса (гл. XVIII, § 7) в векторных обозначениях имеет вид:
где 7. Векторное поле называют безвихревым, если Векторное поле а называют потенциальным, если существует дифференцируемое скалярное поле Векторное поле, дивергенция которого во всех точках равна нулю, называют соленоидальным. Всякое соленоида Теорема Гельмгольца утверждает, что всякое однозначное и непрерывное во всем пространстве векторное поле представимо в виде
где
|
1 |
Оглавление
|