§ 4. Интегральные преобразования с бесконечными пределами (общий случай)

Если переменная выбранная в качестве переменной преобразования, изменяется в бесконечном интервале, то интегральное преобразование задачи по этой переменной имеет бесконечные пределы (один или оба).

1. Выясним сначала, как следует выбрать ядро преобразования, чтобы вычислить разность входящую в преобразованное уравнение (20).

Если интервал бесконечен лишь в одном направлении и в его начальной точке а коэффициенты уравнения исходной задачи не имеют особенностей, то в ней, в зависимости от физического характера переменной могут быть заданы либо граничное условие вида

либо начальные условия, т. е. заданы и и Из результатов предыдущего параграфа очевидно, что при задании граничного условия для возможности вычисления ядро достаточно подчинить условию

тогда значение может быть вычислено по формулам Если же при заданы начальные условия, то значение, определяемое (19) при может быть вычислено всегда, и единственное ограничение, накладываемое начальными условиями на выбор ядра, состоит в том, чтобы значение было конечным. Когда в точке коэффициенты имеют особенности, то можно исходить из соображений, высказанных в конце предыдущего параграфа.

Обычным условием в отношении искомой функции и является обращение ее в нуль в бесконечно удаленной точке. Естественно потребовать, чтобы выражение также обращалось в нуль в этой точке, для чего при обращении в нуль функции

и достаточно, чтобы значения оставались в этой точке конечными.

Преобразование по переменной в уравнении параболического типа будет рассмотрено в следующем параграфе в связи с преобразованием Лапласа.

2. Выясним теперь, как следует выбрать ядро, чтобы было возможно обратное преобразование, и установим общее выражение для этого последнего.

Рассмотрим сначала интервал т. е. интервал с начальной точкой а и неограниченный сверху, причем примем, что в точке коэффициенты уравнения (16) особенностей не имеют. По характеру возможных изменений в форме прямого и обратного преобразований такой интервал эквивалентен конечному интервалу с существенной («достаточно сильной») особенностью в одной из граничных точек. Поэтому сказанное ниже может быть отнесено и к этому последнему случаю.

В § 7 предыдущей главы была доказана теорема разложения, выраженная формулами (70)-(71). Сформулируем эту теорему в более удобной здесь форме. Для этого заметим, что подстановкой

уравнение (16), определяющее ядро интегрального преобразования, преобразуется к рассматривавшемуся в предыдущей главе виду

где

Используя (46), легко подсчитать, что рассмотренные в предыдущей главе начальные условия вида

а также граничное условие (45) для ядра преобразования удовлетворяются, если положить

Отметим, что роль условий (51) прежде всего состоит в надлежащей нормировке ядра.

Положим теперь в (70)-(71), гл. XXXII

и представим в форме разложения (71) не функцию а функцию Тогда получим соотношения, которые, будучи дополнены указанием условий их существования, следующих из § 6 гл. XXXII, приведут к следующему предложению:

Пусть: 1) при а функции определенные (48), непрерывны, а функция функция при удовлетворяет уравнению (16), а при граничному условию (45) и соответствующему условию (51); 3) функция удовлетворяет условию

Тогда существует интегральное преобразование

и обратное ему преобразование

где функция и коэффициенты определяются коэффициентами и условиями, наложенными на Равенства (54) и (55) понимаются в смысле сходимости в среднем и устанавливают взаимнооднозначное (в рамках этого вида сходимости) соответствие между функциями

В частных случаях в правой части (55) интеграл или сумма могут отсутствовать.

Правая часть (55) может быть представлена в виде интеграла Стилтьеса, как это сделано в предыдущей главе. Тогда

где -неубывающая функция. Члены суммы в правой части (55) соответствуют точкам разрыва Функция от определена формулой (73) предыдущей главы. Пример вычисления в п. 3 § 10 предыдущей главы.

Из предыдущей главы следует также следующее предложение:

Если при комплексном X с мнимой частью существует решение уравнения (47), не принадлежащее классу т. е. такое, что интеграл расходится при то функция определена однозначно. В противном случае существует зависящее от одного параметра многообразие функций удовлетворяющих (55).

Формулы (54) и (56), а также (50) и (51), решают вопрос об условиях существования прямого и обратного преобразований на интервале

3. Когда интервал изменения переменной интегрирования бесконечен в обоих направлениях, а также, когда интервал бесконечен в одном направлении, а на другом конце интервала коэффициенты уравнения имеют достаточно сильную особенность или такие особенности есть на обоих концах конечного интервала, то выражения для прямого и обратного преобразований могут быть сложнее, чем Соответствующая теорема разложения сформулирована в § 9 предыдущей главы. Приведем ее для интервала в удобной здесь форме.

Пусть: 1) на любом конечном интервале функции вещественны и непрерывны, а функция

2) функции удовлетворяют уравнению (16) и начальным условиям (при произвольном конечном

3) функция удовлетворяет условию

Тогда существуют интегральные преобразования

и неубывающие функции такие, что

Если при комплексном I с мнимой частью существуют решения уравнения — не принадлежащие соответственно классам то есть такие, что интегралы

расходятся при то функции определяются однозначно. В противном случае существует многообразие функций зависящих от одного или двух параметров.

Интегралы Стилтьеса в правой части (60), естественно, также могут быть представлены в форме, аналогичной правой части (55).

Формулы (59)-(60) решают вопрос об интегральных преобразованиях по переменной, изменяющейся в интервале, не ограниченном с обеих сторон.

4. Из (60) следует, что при преобразованиях с обоими бесконечными пределами для выполнения обратного преобразования надо знать два интегральных преобразования с линейно независимыми ядрами. Рассмотрим, например, интегральное преобразование с ядром удовлетворяющим уравнению

а) За точку а, фигурирующую в (57), примем точку Тогда начальным условиям (57) удовлетворяют решения:

При оба эти решения не принадлежат классам следовательно, функции и тем самым вид обратного преобразования (60) определяются единственным образом.

б) Вычислим величины входящие в формулы для вычисления Для уравнения (61) функция поэтому функции совпадают с введенными в § 8 гл. XXXII функциями и Согласно § 8 гл. XXXII величины и

удовлетворяют условию, что функции принадлежат соответственно классам Единственным линейно независимым решением уравнения (61), принадлежащим при классу является функция

В самом деле, заметив, что знаки совпадают, и обозначив получим т. е. функция экспоненциально убывает при Поэтому должно быть

где А — постоянная. Положив получим следовательно,

Подобным же способом найдем, что и

в) По формулам (83) гл. XXXII найдем, что

Подставив эти выражения в (150) гл. XXXII, получим

Из сформулированной в п. 3 теоремы теперь следует, что любая функция удовлетворяющая условию

имеет интегральные преобразования

зная которые, можно найти ее с помощью обратного преобразования:

включающего оба преобразования (62).

Подставив (62) в (63) и положив после простых преобразований получим интегральную формулу Фурье:

или, в более компактной форме,

С помощью тождества отсюда легко получить интегральную формулу Фурье в комплексной форме:

Из формулы (65) следует, что в рассматриваемом случае два интегральных преобразования (62) с вещественными ядрами можно заменить одним с комплексным ядром Такое преобразование, рассмотренное в следующем параграфе, есть преобразование Фурье. Заменить два преобразования с вещественными ядрами одним с комплексным ядром можно и в других случаях, которые здесь нет возможности рассмотреть.