Глава XI. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН И СТЕРЖНЕЙ

§ 1. Вынужденные колебания струны, закрепленной на концах

Рассмотрим вынужденные колебания однородной струны, закрепленной на концах, под действием внешней силы рассчитанной на единицу длины. Эта задача приводится к решению уравнения

при граничных условиях

и начальных условиях

Будем искать решение этой задачи в виде суммы

где у есть решение неоднородного уравнения

удовлетворяющее граничным условиям

и начальным условиям

а есть решение однородного уравнения

удовлетворяющее граничным условиям

и начальным условиям

Решение представляет вынужденные колебания струны, т. е. такие колебания, которые совершаются под действием внешней возмущающей силы, когда начальные возмущения отсутствуют.

Решение представляет свободные колебания струны, т. е. такие колебания, которые происходят только вследствие начального возмущения.

Методы нахождения свободных колебаний были рассмотрены в предыдущих главах, так что здесь мы остановимся только на нахождении вынужденных колебаний Как и в случае свободных колебаний, будем искать решение в виде ряда:

так что граничные условия (6) удовлетворяются сами собой (в предположении равномерной сходимости ряда).

Определим теперь функции так, чтобы ряд (11) удовлетворял уравнению (5) и начальным условиям (7). Подставив ряд (11) в уравнение (5), получим

где положено

Разложим функцию в интервале ( в ряд Фурье по синусам:

где

Сравнивая разложения (12) и (14) для одной и той же функции 0» получим дифференциальные уравнения

определяющие функции

Чтобы решение определяемое рядом (11), удовлетворяло и начальным условиям (7), достаточно подчинить функции условиям

Решение уравнений (16) при начальных условиях (17) имеет вид [1]:

или, подставляя вместо его выражение (15):

Подставив найденные выражения для в ряд (11), получим решение задачи (5) — (7), если ряд и ряды, полученные из него почленным дифференцированием по до двух раз включительно, равномерно сходятся. Как можно показать, такая сходимость рядов будет обеспечена, если потребовать, чтобы непрерывная функция имела непрерывные частные производные по до второго порядка и чтобы при всех значениях выполнялось условие

Из вышеизложенного следует, что решение задачи (1) — (3) выражается в виде ряда 00

где коэффициенты определяются по формулам (18), а

В качестве примера рассмотрим случай, когда отсутствуют начальные смещения и начальные скорости и на струну действует только непрерывно распределенная сила с линейной плотностью

В этом случае решение и определяется рядом

где коэффициенты определяются по формуле (18) и оказываются равными

Если то выражение (22) для теряет смысл и в этом случае для имеем следующее выражение:

Подставив (22) в ряд (21), получим

Первый член в правой части равенства (24), имеющий ту же частоту, что и возмущающая сила, характеризует «чистые» вынужденные колебания струны. Что же касается второго члена, то он состоит из бесконечно большого числа гармонических колебаний, совершающихся с частотой

и его следует отнести к «свободным» колебаниям струны, возбужденным внешней возмущающей силой.

Формула (24) показывает, что если частота внешней возмущающей силы со приближается к одной из частот собственных колебаний струны, то в разложении (24) появится член с особенно большой амплитудой, вследствие чего возникает явление, называемое резонансом. В случае же, когда частота формула (24) теряет смысл и должна быть заменена другой. Эта формула легко получается, если принять во внимание (23). В данном

ном случае решение задачи имеет вид

где штрих у знака суммы показывает, что надо исключить слагаемое, соответствующее