§ 2. Свободные колебания круглой мембраны

Рассмотрим задачу о колебании круглой мембраны радиуса закрепленной по контуру. Эта задача приводится к решению волнового уравнения в полярных координатах:

при граничном условии

и начальных условиях

Из физического смысла задачи ясно, что решение и должно быть однозначной периодической функцией от с периодом и оставаться ограниченным во всех точках мембраны, в том числе и в центре мембраны Применяя метод Фурье, положим

Мы получим уравнение для

его общее решение

и следующую граничную задачу для функции

Будем искать решение уравнения (31) в виде

Подставив в уравнение (31) и разделив переменные, получим

откуда, приняв во внимание (32), (33) и (34), придем к двум граничным задачам:

Нетрудно видеть, что нетривиальные периодические решения задачи (35)-(36) существуют лишь при условии, что целое число) и имеют вид

Вернемся к уравнению (37). Его общее решение при имеет вид:

Из второго условия (38) следует, что Первое условие дает

Положив получим трансцендентное уравнение для определения

которое, как известно, имеет бесчисленное множество положительных корней

которым соответствуют значения

и соответствующие решения задачи (37)-(38)

Возвращаясь к задаче (31) — (33), найдем, что собственному значению соответствуют две линейно-независимые собственные функции

Из вышеизложенного вытекает, что можно составить бесчисленное множество частных решений уравнения (26), удовлетворяющих граничному условию (27) и имеющих вид:

Чтобы удовлетворить начальным условиям (28), составим ряд

Коэффициенты и определяются из начальных условий (28). Действительно, полагая в ряде получим

Этот ряд представляет собой разложение периодической функции в ряд Фурье в интервале следовательно, стоящие здесь множители при должны быть коэффициентами Фурье; другими словами, должны иметь место следующие равенства

Рассматривая эти равенства, мы убеждаемся, что они представляют разложения произвольной функции в ряд по функциям Бесселя:

В гл. XIII было показано, что коэффициенты определяются формулой

Принимая во внимание эту формулу, без труда убедимся, что

Рассуждая аналогичным образом, мы определим и коэффициенты Вот, нужно только заменить в формулах (45), (46) и на и разделить соответствующие выражения на Таким образом, все коэффициенты в разложении (40) определены, и мы можем переписать найденное нами решение задачи в виде:

где постоянные связаны очевидным образом с постоянными

Из выражения (48) видно, что общее колебание круглой мембраны складывается из бесчисленного множества собственных гармонических колебаний с частотой

натяжение, поверхностная плотность мембраны. При мы имеем основной тон наименьшей частоты

Кроме того, формула (48) показывает, что для круглой мембраны стоячие волны различной частоты имеют узловые линии. Простейшие из этих линий определяются уравнениями:

Первое из этих уравнений определяет окружностей, концентричных с контуром мембраны и имеющих следующие уравнения:

Второе из уравнений (49) определяет диаметров мембраны с уравнениями

На рис. 26 изображены некоторые простейшие случаи расположения узловых линий.

Рис. 26

В случае радиальных колебаний круглой мембраны начальные функции зависят только от

Тогда из формул (45), (46), (47) и им аналогичным следует, что

и при коэффициенты и равны нулю.

Ряд (40) сводится к ряду

где — положительные корни уравнения